1. Preparando el escenario
Cuando Albert Einstein publicó su “día milagroso” en 1905, todavía usaba espacio y tiempo como entidades separadas. Fue Hermann Minkowski (1908) quien dijo la frase célebre:
“A partir de ahora espacio y tiempo por separado están destinados a desvanecerse en meras sombras; sólo su unión conservará una realidad independiente.”
Su “unión” es el intervalo \(s\). Veremos por qué es invariante —igual para todos los observadores inerciales— y cómo ello obliga a redefinir energía y momento.
Este intervalo también sustenta conceptos fundamentales como la equivalencia masa-energía, explicada en detalle en ¿Por qué 𝐸 = 𝑚𝑐²?
2. Breve historia del intervalo
Dato cultural 🎸: mientras Minkowski revolucionaba la física, en 1908 el tango “El choclo” arrasaba en Buenos Aires; otro ejemplo de cómo Latinoamérica y vanguardia pueden ir de la mano.
3. Transformaciones de Lorentz en versión exprés
Para dos marcos inerciales \(\mathcal{S}\) y \(\mathcal{S}'\) con velocidad relativa \(v\) sobre el eje \(x\):
$$
\begin{aligned}
x' &= \gamma\bigl(x - vt\bigr) \\[4pt]
t' &= \gamma\!\left(t - \dfrac{v\,x}{c^{2}}\right) \\[4pt]
\gamma &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}
\end{aligned}
$$
Reescribe el intervalo en \(\mathcal{S}'\) y verás:
$$
\begin{aligned}
s'^{2} &= c^{2}t'^{2} - x'^{2} - y^{2} - z^{2} \\
&= c^{2}t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} \\
&= s^{2}.
\end{aligned}
$$
¡Bingo! Invariante confirmado.
4. Geometría de Minkowski y tipos de intervalos
- Espaciotemporal (timelike): \(s^{2}>0\) → hay un marco donde los sucesos ocurren en el mismo lugar.
- Nulo (lightlike): \(s^{2}=0\) → trayectorias de la luz.
- Espacial (spacelike): \(s^{2}<0\) → no hay marco donde ocurran al mismo tiempo; no hay causalidad posible.
(Dato automotriz 🚗: El icónico Ford Falcon argentino (1962-91) era “espacial” en las calles, pero ningún Falcon —ni siquiera con motor 221— supera \(s^{2}=0\); la luz sigue ganando la carrera.)
5. Del intervalo al cuatro-momento
Definimos el cuatro-vector posición
$$
x^{\mu}=(ct,\,x,\,y,\,z),
$$
y su norma cuadrática nos devolvió \(s^{2}\).
Ahora tomemos el derivado respecto al tiempo propio \(\tau\):
$$
p^{\mu}=m\,\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}=\Bigl(\dfrac{E}{c},\,p_{x},p_{y},p_{z}\Bigr).
$$
El invariante asociado es
$$
p_{\mu}p^{\mu}=m^{2}c^{2}.
$$
Aquí usamos la métrica de Minkowski, \( \eta_{\mu\nu} \), que permite calcular productos escalares entre cuatro-vectores:
$$
p_{\mu}p^{\mu} = \eta_{\mu\nu} p^{\mu} p^{\nu}
$$
En nuestra convención, \( \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(1,\,-1,\,-1,\,-1) \).
6. Derivación de \(E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\)
Multiplicamos por \(c^{2}\):
$$
\Bigl(\dfrac{E}{c}\Bigr)^{2}c^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}\;\;\Longrightarrow\;\;
\boxed{E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}.
$$
Si \(p=0\) recuperamos el reposo \(E_{0}=mc^{2}\). ¡Todo sale de la misma “regla métrica”!
7. Aplicaciones modernas del intervalo
8. Preguntas frecuentes (ráfaga)
¿Qué pasa si cambio la convención de signos?
Algunos textos usan \(s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}\). Es la misma métrica con signo global invertido; nada físico cambia.
¿El intervalo funciona en relatividad general?
Sí, pero la métrica \(\eta_{\mu\nu}\) se reemplaza por \(g_{\mu\nu}(x)\); el concepto de “invariante” se vuelve local.
¿Por qué \(c\) aparece dos veces (en \(ct\) y en \(c^{4}\))?
Porque \(c\) actúa como factor de conversión entre unidades de espacio y tiempo y entre masa y energía.
9. Conclusión
El intervalo de Minkowski no es un detalle matemático: es la cinta métrica universal que une espacio y tiempo. Todo lo demás —dilatación temporal, contracción de longitudes, la propia fórmula \(E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\)— deriva de su invariancia. Comprenderlo es tener la llave maestra del edificio relativista.
New Parliament of Andorra, headquarters of the General Council of Andorra since 2011.