Created by: roberto.c.alfredo on Jul 5, 2025, 2:10 AM
1. Mise en scène
Tout a commencé quand Albert Einstein, en 1905, s’est demandé si la lumière pouvait exercer une poussée (« recul » du canon à photons) et ce que cela impliquait pour la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement. La réponse fut radicale : la masse est de l’énergie stockée. Voyons pourquoi.
2. Pistes historiques et expériences clés
- Fusion dans le Soleil : la masse « manquante » dans la réaction se convertit en énergie qui illumine le Soleil.
- Radioactivité (Marie Curie) : les noyaux « perdent » de la masse en émettant particules et photons.
- Bombe atomique (Trinity 1945) : \(\sim 0,7 g\) de masse transformés en \(5\times10^{13}\text{J}\) d’énergie.
🎼 Fait musical : Metastasis d’Iannis Xenakis (1954) applique des formules mathématiques et des structures architecturales à la composition musicale, un vrai mariage de la science et de l’art sonore.
3. Relativité restreinte en trois idées
- Principe de relativité : les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels.
- Vitesse limite \(c\) : aucune information ne voyage plus vite que la lumière dans le vide.
- Invariant d’espace-temps : $$ s^{2} = c^{2}t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2}. $$
Envie d’approfondir cet invariant fondamental ? Découvrez-le en détail dans « L’invariant espace-temps : de Minkowski à 𝐸² = 𝑝²𝑐² + 𝑚²𝑐⁴ ».
Ces trois piliers mènent à de nouvelles formules pour le moment et l’énergie.
4. Dérivation rapide
4.1. Moment relativiste
$$ \mathbf{p} = \gamma\,m\,\mathbf{v}, \quad \text{où} \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}. $$
4.2. Énergie totale
$$ E^{2} = p^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}. $$
4.3. Cas de repos
Si \(v = 0\) ⇒ \(p = 0\), alors $$ E_{0} = mc^{2}. $$ Et voilà ! L’énergie au repos est encapsulée dans la masse.
On peut développer \(\gamma\) en série de Taylor pour \(v \ll c\) et retrouver l’énergie cinétique classique \(E_{\text{cin}}=\tfrac12mv^{2}\).
5. Conséquences cosmiques et quotidiennes
| Phénomène | Masse « perdue » → Énergie |
|---|---|
| Fusion dans le Soleil | Alimente la luminosité de l’étoile ☀️ |
| Fission nucléaire | Réacteurs et applications médicales |
| Tomographie par émission de positons | \(e^{+}e^{-}\) s’annihilent → deux photons de 511 keV |
| Rayons cosmiques | Conversion partielle de la masse de particules ultra-énergétiques |
🚗 Fait auto : La première Saab 92 (1949) utilisait des alliages légers de l’aéronautique suédoise. Réduire la masse = moins de carburant = moins d’énergie consommée.
6. Et si… il y avait plus de dimensions ?
Dans un espace à \(d>3\) dimensions, l’invariant change de forme, mais tant qu’il existe une limite \(c\) et un invariant quadratique, un terme ~\(mc^{2}\) apparaît. Les constantes varient, mais l’énergie au repos émerge toujours de la symétrie espace-temps.
Pour comprendre pourquoi trois dimensions sont cruciales, lisez « Pourquoi l’univers fonctionne en trois dimensions spatiales ».
7. FAQ express
La « masse relativiste » existe-t-elle ? On parle aujourd’hui de masse au repos \(m\) et d’énergie \(E\) ; la « masse relativiste » \(\gamma m\) n’est qu’une autre façon d’écrire \(E/c^{2}\).
Pourquoi \(c^{2}\) et pas une autre constante ? \(c\) découle de la métrique de l’espace-temps ; au carré, il assure la cohérence dimensionnelle.
Puis-je convertir toute la masse de ma voiture en énergie ? Théoriquement oui. En pratique, il faudrait une annihilation matière-antimatière 100 % efficace. Votre Saab libérerait autant d’énergie que des milliers de bombes nucléaires… mieux vaut ne pas essayer. 😉
8. Conclusion
\(E = mc^{2}\) n’est pas qu’un slogan ; c’est la manifestation d’une symétrie profonde entre espace et temps. Chaque kilogramme renferme \(9\times10^{16}\,\text{J}\). Comprendre cette formule nous mène du cœur des étoiles à l’imagerie médicale, et ouvre la porte de la physique moderne.