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1. ¿Qué significa “conservar” energía? ♻️

En un sistema aislado, la suma de todas las formas de energía permanece constante:

\[ E_{\text{total}} = \sum_i E_i = \text{constante}. \]

Dato flash: La frase “contabilidad cósmica” viene de Richard Feynman — y nunca fallaba en cobrar 🤓.

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2. Teorema trabajo–energía 🛠️

Para una partícula bajo la 2ª ley de Newton:

\[ W = \int_A^B \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \Delta E_k . \]

Trabajo positivo ⇒ \(E_k\) aumenta.

Si existe un potencial conservativo \(U\):

\[ \Delta E_k + \Delta U = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; E_k + U = \text{constante}. \]

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3. Pioneros del “balance” energético 🕰️

Dato curioso: Sadi Carnot redactó su primer balance energético con locomotoras silbando afuera. 🚂

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4. Simetría de Noether ⏳

En mecánica lagrangiana, si el lagrangiano \(L\) no depende explícitamente del tiempo, aparece una cantidad conservada:

1. ¿Por qué importa la energía cinética? ⚾

Siempre que algo se mueve, hay energía en juego.
Desde la patada de un balón hasta un colisionador de hadrones, conocer \(E_k\) nos permite:

• Estimar daños en choques de autos.
• Optimizar turbinas eólicas.
• Relacionar velocidad molecular con temperatura (modelo cinético de gases).

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2. Vis viva → Energía cinética 🏰

• Leibniz (1676): propone \(\text{vis viva}=mv^{2}\).
• D’Alembert & Lagrange añaden el factor \(\tfrac12\).
• Thomas Young (1807) acuña el término “kinetic energy”.

Dato curioso: “Vis mortua” para energía potencial no pegó y… murió. 😅

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3. Derivación clásica 📐

Trabajo de una fuerza constante en línea recta:

\[ W = F\,\Delta x = m\,a\,\Delta x . \]

Con cinemática \(v^{2}=v_{0}^{2}+2a\,\Delta x\):

\[ W = \tfrac12 m\bigl(v^{2}-v_{0}^{2}\bigr) . \]

Identificamos:

\[ \boxed{E_k = \tfrac12 m v^{2}} \]

Para fuerzas variables:

\[ E_k = \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} . \]

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4. Escala humana 🛹

Regla de oro: duplicar \(v\) ⇒ \(E_k\) × 4.

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5. Escala astronómica 🌑

Sonda New Horizons sobre Plutón \(v \approx 14{,}5\,\text{km}\,s^{-1}\):

\[ E_k \approx \tfrac12\,(478\,\text{kg})\,(14{,}5\times10^{3}\,\text{m}\,s^{-1})^{2} \approx 5{,}0\times10^{11}\,\text{J}. \]