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In acoustics we hear the pitch rise as an ambulance approaches and fall as it moves away. In relativity, the Doppler effect applies to light, not sound—and the classical formula no longer suffices.
For a source and observer receding from or approaching each other along the line of sight: $$ \frac{\lambda_{\mathrm{obs}}}{\lambda_{\mathrm{em}}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}, \quad \beta = \frac{v}{c}. $$ In terms of frequencies: $$ \nu_{\mathrm{obs}} = \nu_{\mathrm{em}}\, \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}. $$
Astronomical example: A planet orbiting its star at 30 km/s induces a shift of about 0.01 nm in an iron absorption line—detectable with modern spectrographs.
Aberration changes the apparent angle \(\theta\) between a light ray and the direction of motion. If \(\theta\) is the source’s emission angle and \(\theta'\) the observer’s reception angle: $$ \cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta} {1 - \beta\,\cos\theta}. $$
Historical note: In 1727, James Bradley, while searching for stellar parallax, discovered aberration—first proof that Earth moves.
Even when the source moves perpendicular to the line of sight, there is still a shift: $$ \nu_{\mathrm{obs}} = \frac{\nu_{\mathrm{em}}}{\gamma}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}. $$ The instantaneous distance doesn’t change, but the time between wave crests does, due to time dilation.
| Application | What’s Measured |
|---|---|
| Police radar | Doppler shift of microwaves |
| Exoplanet observations | Periodic variation of \(\lambda\) in spectral lines |
| Radio telescopes | Mapping galactic velocities |
| GPS | Relativistic clock corrections |
🚗 Car fact: A 10 GHz police radar resolves shifts of mere fractions of a hertz—enough to measure speed within ±1 km/h.
Can you notice the optical Doppler effect in daily life without special equipment? No; only in astronomy or with ultrafast lab sources.
Does aberration affect celestial navigation? Yes—astronomers correct for an aberration of about 20″ of arc.
Is Doppler used to measure particle speeds? Yes; accelerators use laser Doppler spectroscopy to calibrate beams near \(0.99 c\).
The universe doesn’t just sing with frequency shifts—it also bends the apparent direction of light. The relativistic Doppler effect and aberration are essential for decoding everything from speed guns to space telescopes. Never trust your classical intuition alone again!
Tout a commencé quand Albert Einstein, en 1905, s’est demandé si la lumière pouvait exercer une poussée (« recul » du canon à photons) et ce que cela impliquait pour la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement. La réponse fut radicale : la masse est de l’énergie stockée. Voyons pourquoi.
🎼 Fait musical : Metastasis d’Iannis Xenakis (1954) applique des formules mathématiques et des structures architecturales à la composition musicale, un vrai mariage de la science et de l’art sonore.
Envie d’approfondir cet invariant fondamental ? Découvrez-le en détail dans « L’invariant espace-temps : de Minkowski à 𝐸² = 𝑝²𝑐² + 𝑚²𝑐⁴ ».
Ces trois piliers mènent à de nouvelles formules pour le moment et l’énergie.
$$ \mathbf{p} = \gamma\,m\,\mathbf{v}, \quad \text{où} \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}. $$
$$ E^{2} = p^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}. $$
Si \(v = 0\) ⇒ \(p = 0\), alors $$ E_{0} = mc^{2}. $$ Et voilà ! L’énergie au repos est encapsulée dans la masse.
On peut développer \(\gamma\) en série de Taylor pour \(v \ll c\) et retrouver l’énergie cinétique classique \(E_{\text{cin}}=\tfrac12mv^{2}\).
| Phénomène | Masse « perdue » → Énergie |
|---|---|
| Fusion dans le Soleil | Alimente la luminosité de l’étoile ☀️ |
| Fission nucléaire | Réacteurs et applications médicales |
| Tomographie par émission de positons | \(e^{+}e^{-}\) s’annihilent → deux photons de 511 keV |
| Rayons cosmiques | Conversion partielle de la masse de particules ultra-énergétiques |
🚗 Fait auto : La première Saab 92 (1949) utilisait des alliages légers de l’aéronautique suédoise. Réduire la masse = moins de carburant = moins d’énergie consommée.
Dans un espace à \(d>3\) dimensions, l’invariant change de forme, mais tant qu’il existe une limite \(c\) et un invariant quadratique, un terme ~\(mc^{2}\) apparaît. Les constantes varient, mais l’énergie au repos émerge toujours de la symétrie espace-temps.
Pour comprendre pourquoi trois dimensions sont cruciales, lisez « Pourquoi l’univers fonctionne en trois dimensions spatiales ».
La « masse relativiste » existe-t-elle ? On parle aujourd’hui de masse au repos \(m\) et d’énergie \(E\) ; la « masse relativiste » \(\gamma m\) n’est qu’une autre façon d’écrire \(E/c^{2}\).
Pourquoi \(c^{2}\) et pas une autre constante ? \(c\) découle de la métrique de l’espace-temps ; au carré, il assure la cohérence dimensionnelle.
Puis-je convertir toute la masse de ma voiture en énergie ? Théoriquement oui. En pratique, il faudrait une annihilation matière-antimatière 100 % efficace. Votre Saab libérerait autant d’énergie que des milliers de bombes nucléaires… mieux vaut ne pas essayer. 😉
\(E = mc^{2}\) n’est pas qu’un slogan ; c’est la manifestation d’une symétrie profonde entre espace et temps. Chaque kilogramme renferme \(9\times10^{16}\,\text{J}\). Comprendre cette formule nous mène du cœur des étoiles à l’imagerie médicale, et ouvre la porte de la physique moderne.