🏷️ العلامة: relatividad-especial

1. De la sirena al cosmos: ¿Qué mide el Doppler?

En acústica, oímos la típica subida de tono cuando una ambulancia se acerca y su bajada cuando se aleja.   En relatividad, el Efecto Doppler altera la luz, no el sonido, y la fórmula clásica ya no sirve.

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2. Doppler longitudinal: frecuencia y longitud de onda

Para un emisor y un receptor que se alejan o acercan a lo largo de la línea de visión,

$$ \frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{em}}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}, \qquad \beta=\frac{v}{c}. $$

Expresado en frecuencias:

$$ \nu_{\text{obs}} = \nu_{\text{em}}\, \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}. $$

• Si \(v>0\) (alejándose): corrimiento al rojo (\(\lambda_{\text{obs}}>\lambda_{\text{em}}\)).
• Si \(v<0\) (acercándose): corrimiento al azul (\(\lambda_{\text{obs}}<\lambda_{\text{em}}\)).

Ejemplo astronómico:   Un planeta orbitando su estrella a \(30\ \text{km/s}\) causa un corrimiento en la línea de absorción de hierro de \(\sim 0.01\ \text{nm}\), suficiente para detectarlo.

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3. Aberración de la luz: cambio de rumbo aparente

La aberración desplaza el ángulo aparente \(\theta\) que forma un rayo con la dirección de movimiento.   Si \(\theta\) lo mide la fuente y \(\theta'\) el observador:

$$ \cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}     {1 - \beta\,\cos\theta}. $$

• Para \(\theta=90^\circ\): las estrellas se ven “arrastradas” hacia la dirección de la velocidad terrestre, con un máximo de \(\theta' \approx \arctan(v/c) \approx 20.5''\).

En física clásica, sumar velocidades es pan comido. Si un Mustang 🐎 va a 100 km/h y lanza una pelota hacia adelante a 20 km/h (respecto al coche), alguien que esté parado verá la pelota a 120 km/h. Fácil, ¿no? Pero cuando Einstein entró en escena, se acabaron estas sumas tan cómodas.

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¿Por qué no se suman velocidades normalmente?

La relatividad especial nos obliga a usar otra fórmula cuando nos acercamos a velocidades cercanas a la luz:

$$ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}} $$

• \(u\) es la velocidad resultante, medida desde el sistema de referencia "fijo".
• \(u'\) es la velocidad del objeto en el sistema en movimiento.
• \(v\) es la velocidad del sistema en movimiento respecto al fijo.
• \(c\) es la velocidad de la luz (299,792,458 m/s).

Esta fórmula garantiza que nunca se supere la velocidad de la luz, manteniendo la coherencia del universo (¡menos mal!).

Por ejemplo, si una nave espacial viaja a \(0.8c\) y lanza hacia adelante una sonda a \(0.7c\) respecto a ella, la velocidad medida desde afuera NO será \(1.5c\). Será:

$$ u = \frac{0.7c + 0.8c}{1 + \frac{(0.7c)(0.8c)}{c^2}} = \frac{1.5c}{1 + 0.56} \approx 0.96c $$

Rápido, sí. Más rápido que la luz, ¡jamás!

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La paradoja de la escalera 🪜🏠

Esta lógica relativista da lugar a situaciones divertidísimas y algo desconcertantes, como la "paradoja de la escalera" (también conocida como la "paradoja del granero").

Imagina una escalera demasiado larga para caber dentro de tu garaje. Normalmente, imposible meterla, ¿verdad? Pero ahora haz que la escalera viaje a gran velocidad hacia el garaje (sí, una escalera veloz: cosas de físicos locos).

1. Preparando el escenario

Imagina dos relojes perfectamente sincronizados. Ahora coloca uno en una nave espacial que viaja a gran velocidad y deja el otro en la Tierra. Al reencontrarse, descubrirás algo increíble: los relojes ya no marcan la misma hora. ¿Cómo puede ser esto posible? La respuesta está en la relatividad de la simultaneidad.

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2. Relatividad de la simultaneidad: ¿qué significa "ahora"?

Dos observadores moviéndose uno respecto del otro no están de acuerdo en si dos sucesos ocurren "al mismo tiempo". Lo que es simultáneo para uno, puede no serlo para otro, debido a las transformaciones de Lorentz.

Recordatorio matemático (Transformaciones de Lorentz): $$ t = \gamma\bigl(t_0 + v x_0/c^2\bigr), \quad x = \gamma\bigl(x_0 + v t_0\bigr) \\[4pt] \text{donde} \quad \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} $$

Si te interesa la matemática detrás de estas transformaciones, revisa El invariante espacio-tiempo: de Minkowski a 𝐸² = 𝑝²𝑐² + 𝑚²𝑐⁴.

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3. Dilatación del tiempo: el tiempo depende de la velocidad

Históricamente, en 1971 Joseph Hafele y Richard Keating giraron relojes atómicos alrededor del mundo en aviones y confirmaron in situ la dilatación predicha por Einstein. Compararon los relojes que volaron con otros que permanecieron en tierra, y encontraron que habían transcurrido diferentes intervalos de tiempo, tal como predice la teoría de la relatividad especial.

La duración de un intervalo temporal depende del movimiento del observador que lo mide. Matemáticamente:

1. ¿Qué son exactamente los conos de luz?

Cuando encendemos una linterna en una noche oscura, la luz se expande formando un cono de iluminación frente a nosotros. Ahora imagina este efecto, pero a nivel cósmico y con la velocidad límite universal: la luz. En relatividad, estos conos definen las fronteras del pasado y del futuro causal de cada evento.

Formalmente, un evento es simplemente una coordenada en el espacio-tiempo \((t, x, y, z)\). La luz emitida desde ese punto viaja formando conos que dividen claramente qué eventos pueden afectarlo o ser afectados por él.

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2. Estructura matemática simple del cono de luz

Recuerda nuestro intervalo espacio-tiempo:

$$ s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$

Los conos de luz son justamente las regiones que cumplen:

• \(s^2 = 0\), llamadas trayectorias lumínicas (lightlike).
• \(s^2 > 0\), interior del cono, trayectorias temporales (timelike).
• \(s^2 < 0\), exterior del cono, trayectorias espaciales (spacelike).

Visualmente, los conos son superficies generadas por la propagación luminosa desde el evento central, separando claramente el espacio-tiempo en regiones causales.

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3. Pasado, futuro y causalidad: ¿Qué es causalmente posible?

La existencia de estos conos divide nuestro universo en tres tipos fundamentales de eventos respecto a un evento dado:

• Pasado causal (cono inferior): todos los eventos que pudieron afectar el presente.
• Futuro causal (cono superior): todos los eventos que pueden ser influenciados por el presente.

1. Preparando el escenario

Cuando Albert Einstein publicó su “día milagroso” en 1905, todavía usaba espacio y tiempo como entidades separadas. Fue Hermann Minkowski (1908) quien dijo la frase célebre:

“A partir de ahora espacio y tiempo por separado están destinados a desvanecerse en meras sombras; sólo su unión conservará una realidad independiente.”

Su “unión” es el intervalo \(s\). Veremos por qué es invariante —igual para todos los observadores inerciales— y cómo ello obliga a redefinir energía y momento.

Este intervalo también sustenta conceptos fundamentales como la equivalencia masa-energía, explicada en detalle en ¿Por qué 𝐸 = 𝑚𝑐²?

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2. Breve historia del intervalo

Dato cultural 🎸: mientras Minkowski revolucionaba la física, en 1908 el tango “El choclo” arrasaba en Buenos Aires; otro ejemplo de cómo Latinoamérica y vanguardia pueden ir de la mano.

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3. Transformaciones de Lorentz en versión exprés

Para dos marcos inerciales \(\mathcal{S}\) y \(\mathcal{S}'\) con velocidad relativa \(v\) sobre el eje \(x\):

$$ \begin{aligned} x' &= \gamma\bigl(x - vt\bigr) \\[4pt] t' &= \gamma\!\left(t - \dfrac{v\,x}{c^{2}}\right) \\[4pt] \gamma &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} \end{aligned} $$

1. Preparando el escenario

Todo empezó cuando Albert Einstein, en 1905, se preguntó si la luz podría empujar (“retroceso” del cañón de fotones) y qué implicaba eso para la conservación de la energía y el momento. La respuesta final fue radical: la masa es energía almacenada. Veamos por qué.

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2. Pistas históricas y experimentos clave

• Fuego en el sol (fusión): la masa “faltante” en la reacción se convierte en la energía que nos broncea cada verano.
• Radiactividad de Marie Curie: núcleos “pierden” masa al emitir partículas y fotones.
• Bomba atómica (Trinity, 1945): $\sim0.7\text{g}$ de masa se transformaron en $5\times10^{13}\text{J}$ de energía.

🎸 Random fact musical: En 1977 la NASA incluyó “El Cascabel” —son jarocho grabado en México— en el Golden Record de las sondas Voyager. Ese disco de cobre viaja por el espacio y las señales electromagnéticas que describen su música se mueven a la velocidad de la luz, llevando ritmos latinoamericanos más allá del Sistema Solar. 🚀🎶

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3. Relatividad especial en tres ideas

1. Principio de relatividad: las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales.
2. Velocidad límite $c$: ninguna señal viaja más rápido que la luz en el vacío.
3. Invariante espacio-tiempo:

$$   s^{2} = c^{2}t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2}.   $$

¿Quieres profundizar más en este invariante esencial? Explora su origen geométrico y sus consecuencias en detalle en El invariante espacio-tiempo: de Minkowski a 𝐸² = 𝑝²𝑐² + 𝑚²𝑐⁴.