1. Mise en scène

Imaginez que, avant le Big Bang, vous lanciez des dés cosmiques : l’univers aurait-il pu émerger avec quatre, cinq ou même dix dimensions spatiales ? Nous passerons en revue les « tests » physiques clés que tout nombre de dimensions \(d\) doit réussir pour accueillir la chimie, les étoiles et les primates parlanchins. Nous commencerons par une intuition en langage clair puis étayerons avec des formules MathJax pour voir les chiffres en action.

Si vous êtes curieux de voir comment ce choix spécial influence les lois fondamentales, consultez Pourquoi 𝐸 = 𝑚𝑐².

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2. Gravité, électrostatique et orbites stables :

2.1 Vue qualitative

• Trop peu de dimensions (\(d \le 2\)) : la force décroît trop lentement — les particules spiralent vers le centre.
• Trop de dimensions (\(d \ge 4\)) : la force décroît trop vite — les orbites s’effondrent.
• Juste \(d = 3\) : la célèbre loi \(1/r^2\) supporte des trajectoires fermées et répétitives — Kepler aurait approuvé.

2.2 Analyse quantitative

Pour un espace de dimension \(d\), la loi de Gauss donne   $$ F(r)\propto\frac{1}{r^{d-1}}\tag{1} $$   et le potentiel correspondant   $$ V(r)\propto\frac{1}{r^{d-2}}\,.\tag{2} $$   De petites perturbations autour d’une orbite circulaire restent bornées seulement si le potentiel radial effectif possède un minimum : cela se produit précisément quand   $$ d = 3\tag{3}. $$   Si l’on remplace \(d=4\) dans ce critère, le terme de rappel change de signe — l’orbite s’effondre ou s’échappe. La même analyse s’applique au nuage électronique de l’hydrogène.