Created by: roberto.c.alfredo on Jul 7, 2025, 11:38 PM
1. Mise en scène
Lorsque Albert Einstein publia son « année miraculeuse » en 1905, il traitait encore l’espace et le temps comme des entités séparées. Ce fut Hermann Minkowski (1908) qui déclara la phrase célèbre :
« Désormais l’espace à lui seul, et le temps à lui seul, sont condamnés à se fondre en de simples ombres ; seule une sorte d’union des deux conservera une réalité indépendante. »
Cette “union” est l’intervalle \(s\). Nous verrons pourquoi il est invariant — identique pour tous les observateurs inertiels — et comment cela nous oblige à redéfinir énergie et quantité de mouvement.
Ce même intervalle soutient des concepts fondamentaux comme l’équivalence masse-énergie, expliquée en détail dans Pourquoi 𝐸 = 𝑚𝑐².
2. Brève histoire de l’intervalle
| Année | Scientifique | Contribution |
|---|---|---|
| 1905 | Einstein | Postulats de la relativité restreinte |
| 1906–1907 | Poincaré | Introduit le “quadrivecteur” et note la forme \(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\) |
| 1908 | Minkowski | Formalise la géométrie 4D et forge le concept d’« espace-temps » |
Coup de projecteur culturel 🎸 : en 1908, alors que Minkowski révolutionnait la physique, le tango “El Choclo” balayait Buenos Aires – un bel exemple d’avancée latino-américaine.
3. Transformations de Lorentz en bref
Pour deux référentiels inertiels \(\mathcal{S}\) et \(\mathcal{S}'\) de vitesse relative \(v\) selon l’axe \(x\) :
$$ \begin{aligned} x' &= \gamma\,\bigl(x - vt\bigr) \\[6pt] t' &= \gamma\!\left(t - \frac{v\,x}{c^{2}}\right) \\[6pt] \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} \end{aligned} $$
Reformulons l’intervalle dans \(\mathcal{S}'\) et observons :
$$ \begin{aligned} s'^{2} &= c^{2}t'^{2} - x'^{2} - y^{2} - z^{2} \\ &= c^{2}t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} \\ &= s^{2}. \end{aligned} $$
Bingo ! Invariant confirmé.
4. Géométrie de Minkowski et types d’intervalles
- Temporel (timelike) : \(s^{2} > 0\) → il existe un référentiel où les événements se produisent au même endroit.
- Nul (lightlike) : \(s^{2} = 0\) → trajectoires de la lumière.
- Spatial (spacelike) : \(s^{2} < 0\) → aucun référentiel ne peut les synchroniser ; pas de causalité possible.
Fait auto 🚗 : la légendaire Ford Falcon argentine (1962–91) était “spacelike” sur la route — aucun Falcon, même avec son 221 cu in, ne peut atteindre \(s^{2}=0\). La lumière gagne toujours.
5. De l’intervalle au quadrimoment
Définissons le quadrivecteur position :
$$ x^{\mu} = \bigl(c\,t,\,x,\,y,\,z\bigr), $$
dont la norme quadratique est \(s^{2}\).
En dérivant par le temps propre \(\tau\) :
$$ p^{\mu} = m\,\frac{dx^{\mu}}{d\tau} = \Bigl(\dfrac{E}{c},\,p_{x},\,p_{y},\,p_{z}\Bigr). $$
L’invariant associé s’écrit :
$$ p_{\mu}\,p^{\mu} = m^{2}c^{2}. $$
Ici, \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,-1)\) est la métrique de Minkowski, utilisée pour contracter les indices :
$$ p_{\mu}\,p^{\mu} = \eta_{\mu\nu}\,p^{\mu}p^{\nu}. $$
6. Dérivation de \(E^{2} = p^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}\)
En multipliant par \(c^{2}\) :
$$ \Bigl(\frac{E}{c}\Bigr)^{2}c^{2} - p^{2}c^{2} = m^{2}c^{4} \;\Longrightarrow\; \boxed{E^{2} = p^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}}. $$
Si \(p = 0\), on retrouve l’énergie de repos \(E_{0} = m c^{2}\). Tout découle de cette « règle métrique ».
7. Applications modernes de l’intervalle
| Domaine | Exemple | Pourquoi l’intervalle importe |
|---|---|---|
| Physique des particules | Seuil d’énergie pour création de paires | Utilise le canal \(s\) (\(s=(p_{1}+p_{2})^{2}\)) |
| Cosmologie | Distances propres dans le modèle FLRW | L’intervalle définit la métrique d’expansion |
| GPS | Corrections relativistes des horloges | L’intervalle gouverne la dilatation temporelle |
8. FAQ rapide
Que se passe-t-il si je change les conventions de signe ? Certains textes utilisent \(s^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2} - c^{2}t^{2}\). C’est la même physique avec un signe global inversé.
L’intervalle fonctionne-t-il en relativité générale ? Oui ; il suffit de remplacer \(\eta_{\mu\nu}\) par \(g_{\mu\nu}(x)\) ; l’invariant devient local.
Pourquoi \(c\) apparaît-il deux fois (dans \(ct\) et dans \(c^{4}\)) ? Parce que \(c\) agit comme facteur de conversion entre unités d’espace et de temps et entre masse et énergie.
9. Conclusion
L’intervalle de Minkowski n’est pas une simple curiosité mathématique : c’est le « mètre ruban » universel qui unit espace et temps. Tout — dilatation temporelle, contraction des longueurs et la formule \(E^{2} = p^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}\) — découle de son invariance. Le maîtriser, c’est détenir la clé de l’édifice relativiste.