1. Mise en scène

Imaginez deux horloges parfaitement synchronisées. Placez-en une dans un vaisseau filant à grande vitesse et laissez l’autre sur Terre. À la réunion, surprise : elles n’affichent plus la même heure. Comment est-ce possible ? Grâce à la relativité de la simultanéité.

---

2. Relativité de la simultanéité : que signifie « maintenant » ?

Deux observateurs en mouvement relatif ne s’accordent pas sur le caractère simultané de deux événements. Ce qui est instantané pour l’un ne l’est pas pour l’autre, à cause des transformations de Lorentz.

Rappel mathématique (transformations de Lorentz)

$$ t = \gamma\Bigl(t_0 + \dfrac{v\,x_0}{c^{2}}\Bigr), \quad x = \gamma\bigl(x_0 + v\,t_0\bigr) \\[4pt] \text{où}\quad \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} $$

Pour la déduction complète, voyez L’invariant espace-temps : de Minkowski à 𝐸² = 𝑝²𝑐² + 𝑚²𝑐⁴.

---

3. Dilatation du temps : la durée dépend de la vitesse

Historique : en 1971, Joseph Hafele et Richard Keating ont fait le tour du monde avec des horloges atomiques ; comparées à celles restées au sol, elles ont confirmé la dilatation temporelle d’Einstein.

$$ \Delta t = \gamma\,\Delta \tau \quad\text{où}\quad \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} $$

• $\Delta \tau$ : temps propre, mesuré par l’observateur au repos.
• $\Delta t$ : temps mesuré par l’observateur voyant l’événement en mouvement.

Exemple classique : les muons des rayons cosmiques (vie propre 2,2 µs) parviennent au sol grâce à la dilatation du temps vue depuis la Terre.

---

4. Contraction des longueurs : les distances se raccourcissent

Le long de la direction du mouvement :

$$ L = \dfrac{L_0}{\gamma} $$

• $L_0$ : longueur propre (objet au repos).
• $L$ : longueur mesurée par l’observateur mobile.

Illustration : pour un vaisseau proche de la vitesse de la lumière, l’espace devant lui est « compressé », rendant les voyages interstellaires plus courts de son point de vue.

---

5. Paradoxe des jumeaux : qui vieillit moins ?

Deux jumeaux synchronisent leurs montres. L’un reste sur Terre, l’autre part près de $c$. Au retour, le voyageur est plus jeune. Pourquoi ? Parce qu’il subit des accélérations : la symétrie des référentiels est rompue.

---

6. FAQ express

Peut-on l’observer à vitesse ordinaire ?   Oui, mais l’effet est infime. Les satellites GPS corrigent déjà cette dilatation.

Et si l’on voyageait régulièrement à $0{,}9c$ ?   Vous traverseriez la galaxie en une vie… tandis que la Terre vieillirait de millions d’années.

La contraction est-elle « réelle » ou seulement visuelle ?   Réalité expérimentale, confirmée dans les accélérateurs de particules.

---

7. Et si l’on changeait le nombre de dimensions spatiales ?

Comme discuté dans Pourquoi l’univers fonctionne avec trois dimensions spatiales, ces relations subsistent en $n$ dimensions, mais la lecture physique de l’espace-temps devient plus subtile.

---

8. Conclusion : temps et espace ne sont pas absolus

La relativité restreinte montre une trame cosmique étonnamment fluide : durées et distances dépendent toujours de l’observateur. Intuitivement déroutant, mais parfaitement cohérent avec l’existence d’une vitesse-limite, celle de la lumière.

En physique classique, additionner des vitesses est un jeu d’enfant. Si une Mustang 🐎 roule à \(100\ \mathrm{km/h}\) et lance une balle vers l’avant à \(20\ \mathrm{km/h}\) (par rapport à la voiture), un observateur fixe la verra à \(120\ \mathrm{km/h}\). Facile, non ? Mais lorsque Einstein est arrivé, ces additions confortables ont volé en éclats.

---

Pourquoi n’additionne-t-on pas les vitesses normalement ?

La relativité restreinte nous impose une autre formule aux vitesses proches de celle de la lumière :

$$ u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'\,v}{c^2}} $$

• \(u\) est la vitesse résultante, mesurée dans le référentiel fixe.
• \(u'\) est la vitesse de l’objet dans le référentiel mobile.
• \(v\) est la vitesse du référentiel mobile par rapport au fixe.
• \(c\) est la vitesse de la lumière (\(299{,}792{,}458\ \mathrm{m/s}\)).

Cette formule garantit que l’on ne dépasse jamais \(c\), préservant ainsi la cohérence de l’univers !

Par exemple, si un vaisseau voyage à \(0{,}8c\) et lance une sonde à \(0{,}7c\) par rapport à lui, la vitesse mesurée de l’extérieur n’est PAS \(1{,}5c\). C’est :

$$ u = \frac{0{,}7c + 0{,}8c}{1 + 0{,}7\times0{,}8} = \frac{1{,}5c}{1 + 0{,}56} \approx 0{,}96c $$

Vite oui ; plus vite que la lumière, jamais !

---

Le paradoxe de l’échelle 🪜 🏠

Cette logique relativiste produit des situations à la fois amusantes et déconcertantes, comme le paradoxe de l’échelle (ou « paradoxe de la grange »).

Imaginez une échelle trop longue pour tenir dans votre garage. Normalement, c’est impossible, n’est-ce pas ? Mais faites avancer l’échelle à grande vitesse vers le garage : pour l’observateur fixe, l’échelle se contracte suffisamment pour y rentrer entièrement ! Pourtant, pour celui qui monte sur l’échelle, c’est le garage qui s’est encore plus rétréci !

Alors, qui a raison ? La solution est dans la relativité de la simultanéité : des événements simultanés dans un référentiel (« les deux portes se ferment en même temps ») ne le sont pas dans l’autre. Les deux ont raison dans leur propre cadre.

Pour préciser, définissons deux événements :

• A : la porte avant se ferme en \(x=0\) à l’instant \(t_A\).
• B : la porte arrière se ferme en \(x=L_{\rm garage}\) au même instant \(t_B = t_A\) (simultané pour le garagiste).

Dans le référentiel de l’échelle, ces deux portes ne se ferment pas simultanément :

$$ \begin{aligned} \Delta t' &= t'_B - t'_A = \gamma\bigl(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^2}\bigr) \\[6pt] &= \gamma\Bigl(0 - \frac{v\,L_{\rm garage}}{c^2}\Bigr) \\[6pt] &= -\,\gamma\,\frac{v\,L_{\rm garage}}{c^2} \\[4pt] &< 0 \end{aligned} $$

C’est-à-dire que, dans le référentiel de l’échelle, l’événement B (porte arrière) survient avant A (porte avant).

• D’abord, le « nez » de l’échelle heurte la porte arrière (B).
• Ensuite seulement, la « queue » atteint la porte avant (A).

Il n’existe jamais un instant où les deux portes enferment entièrement l’échelle simultanément dans son propre référentiel. D’où l’échelle ne tient jamais complètement dans le garage selon elle.

---

Conclusion

En relativité, bien des absurdités apparentes prennent sens une fois le formalisme compris.   Et rappelez-vous : si vous transportez une échelle à presque la vitesse de la lumière, vérifiez d’abord avec votre assurance ! 🥸