En physique classique, additionner des vitesses est un jeu d’enfant. Si une Mustang 🐎 roule à \(100\ \mathrm{km/h}\) et lance une balle vers l’avant à \(20\ \mathrm{km/h}\) (par rapport à la voiture), un observateur fixe la verra à \(120\ \mathrm{km/h}\). Facile, non ? Mais lorsque Einstein est arrivé, ces additions confortables ont volé en éclats.

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Pourquoi n’additionne-t-on pas les vitesses normalement ?

La relativité restreinte nous impose une autre formule aux vitesses proches de celle de la lumière :

$$ u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'\,v}{c^2}} $$

• \(u\) est la vitesse résultante, mesurée dans le référentiel fixe.
• \(u'\) est la vitesse de l’objet dans le référentiel mobile.
• \(v\) est la vitesse du référentiel mobile par rapport au fixe.
• \(c\) est la vitesse de la lumière (\(299{,}792{,}458\ \mathrm{m/s}\)).

Cette formule garantit que l’on ne dépasse jamais \(c\), préservant ainsi la cohérence de l’univers !

Par exemple, si un vaisseau voyage à \(0{,}8c\) et lance une sonde à \(0{,}7c\) par rapport à lui, la vitesse mesurée de l’extérieur n’est PAS \(1{,}5c\). C’est :

$$ u = \frac{0{,}7c + 0{,}8c}{1 + 0{,}7\times0{,}8} = \frac{1{,}5c}{1 + 0{,}56} \approx 0{,}96c $$

Vite oui ; plus vite que la lumière, jamais !

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Le paradoxe de l’échelle 🪜 🏠

Cette logique relativiste produit des situations à la fois amusantes et déconcertantes, comme le paradoxe de l’échelle (ou « paradoxe de la grange »).

Imaginez une échelle trop longue pour tenir dans votre garage. Normalement, c’est impossible, n’est-ce pas ? Mais faites avancer l’échelle à grande vitesse vers le garage : pour l’observateur fixe, l’échelle se contracte suffisamment pour y rentrer entièrement ! Pourtant, pour celui qui monte sur l’échelle, c’est le garage qui s’est encore plus rétréci !

Alors, qui a raison ? La solution est dans la relativité de la simultanéité : des événements simultanés dans un référentiel (« les deux portes se ferment en même temps ») ne le sont pas dans l’autre. Les deux ont raison dans leur propre cadre.

Pour préciser, définissons deux événements :

• A : la porte avant se ferme en \(x=0\) à l’instant \(t_A\).
• B : la porte arrière se ferme en \(x=L_{\rm garage}\) au même instant \(t_B = t_A\) (simultané pour le garagiste).

Dans le référentiel de l’échelle, ces deux portes ne se ferment pas simultanément :

$$ \begin{aligned} \Delta t' &= t'_B - t'_A = \gamma\bigl(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^2}\bigr) \\[6pt] &= \gamma\Bigl(0 - \frac{v\,L_{\rm garage}}{c^2}\Bigr) \\[6pt] &= -\,\gamma\,\frac{v\,L_{\rm garage}}{c^2} \\[4pt] &< 0 \end{aligned} $$

C’est-à-dire que, dans le référentiel de l’échelle, l’événement B (porte arrière) survient avant A (porte avant).

• D’abord, le « nez » de l’échelle heurte la porte arrière (B).
• Ensuite seulement, la « queue » atteint la porte avant (A).

Il n’existe jamais un instant où les deux portes enferment entièrement l’échelle simultanément dans son propre référentiel. D’où l’échelle ne tient jamais complètement dans le garage selon elle.

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Conclusion

En relativité, bien des absurdités apparentes prennent sens une fois le formalisme compris.   Et rappelez-vous : si vous transportez une échelle à presque la vitesse de la lumière, vérifiez d’abord avec votre assurance ! 🥸