Welcome, User!
In classical physics, adding velocities is easy. If a Mustang 🐎 travels at 100 km/h and throws a ball forward at 20 km/h (relative to the car), a stationary observer sees the ball at 120 km/h. Simple, right? But when Einstein entered the scene, these comfortable sums ended.
Special relativity forces us to use a different formula at speeds near the speed of light:
$$ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}} $$
This formula ensures that you never exceed the speed of light, preserving the universe’s consistency (phew 😅).
For example, if a spaceship travels at \(0.8c\) and launches a probe forward at \(0.7c\) relative to it, the speed measured from outside is NOT \(1.5c\). It is:
$$ u = \frac{0.7c + 0.8c}{1 + \frac{(0.7c)(0.8c)}{c^2}} = \frac{1.5c}{1 + 0.56} \approx 0.96c $$
Fast? Yes. Faster than light? Never!
This relativistic logic gives rise to amusing and perplexing situations, like the ladder paradox (also known as the “barn paradox”).
Imagine a ladder too long to fit in your garage. Normally, you can’t squeeze it in, right? But now make the ladder race toward the garage at high speed (yes, a fast ladder—physicists can be crazy).
According to relativity, to a stationary observer in the garage, the ladder contracts due to its high velocity. So, briefly, it fits completely! However, from the perspective of someone riding the ladder, it’s the garage that has contracted even more!
So who’s right? The answer lies in understanding that simultaneity is relative. Events that appear simultaneous to one observer (“both doors closed at the same time”) are not for another. Both are correct in their own frame.
To see this more precisely, define two events:
In the ladder’s frame these two doors do not close simultaneously:
$$ \begin{aligned} \Delta t' &= t'_B - t'_A = \gamma\bigl(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^2}\bigr) \\[6pt] &= \gamma\Bigl(0 - \frac{v\,L_{\rm garage}}{c^2}\Bigr) \\[6pt] &= -\,\gamma\,\frac{v\,L_{\rm garage}}{c^2} \\[4pt] &< 0 \end{aligned} $$
That is, in the ladder’s frame event B (back door) happens before A (front door).
There is never a moment when both doors enclose the entire ladder at once in its own frame. Hence, it never fits entirely in the garage from that viewpoint.
In relativity, many seemingly absurd things make perfect sense once you understand the math. And remember: if you carry a ladder at nearly light speed, check with your insurance company first 🥸.
En physique classique, additionner des vitesses est un jeu d’enfant. Si une Mustang 🐎 roule à \(100\ \mathrm{km/h}\) et lance une balle vers l’avant à \(20\ \mathrm{km/h}\) (par rapport à la voiture), un observateur fixe la verra à \(120\ \mathrm{km/h}\). Facile, non ? Mais lorsque Einstein est arrivé, ces additions confortables ont volé en éclats.
La relativité restreinte nous impose une autre formule aux vitesses proches de celle de la lumière :
$$ u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'\,v}{c^2}} $$
Cette formule garantit que l’on ne dépasse jamais \(c\), préservant ainsi la cohérence de l’univers !
Par exemple, si un vaisseau voyage à \(0{,}8c\) et lance une sonde à \(0{,}7c\) par rapport à lui, la vitesse mesurée de l’extérieur n’est PAS \(1{,}5c\). C’est :
$$ u = \frac{0{,}7c + 0{,}8c}{1 + 0{,}7\times0{,}8} = \frac{1{,}5c}{1 + 0{,}56} \approx 0{,}96c $$
Vite oui ; plus vite que la lumière, jamais !
Cette logique relativiste produit des situations à la fois amusantes et déconcertantes, comme le paradoxe de l’échelle (ou « paradoxe de la grange »).
Imaginez une échelle trop longue pour tenir dans votre garage. Normalement, c’est impossible, n’est-ce pas ? Mais faites avancer l’échelle à grande vitesse vers le garage : pour l’observateur fixe, l’échelle se contracte suffisamment pour y rentrer entièrement ! Pourtant, pour celui qui monte sur l’échelle, c’est le garage qui s’est encore plus rétréci !
Alors, qui a raison ? La solution est dans la relativité de la simultanéité : des événements simultanés dans un référentiel (« les deux portes se ferment en même temps ») ne le sont pas dans l’autre. Les deux ont raison dans leur propre cadre.
Pour préciser, définissons deux événements :
Dans le référentiel de l’échelle, ces deux portes ne se ferment pas simultanément :
$$ \begin{aligned} \Delta t' &= t'_B - t'_A = \gamma\bigl(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^2}\bigr) \\[6pt] &= \gamma\Bigl(0 - \frac{v\,L_{\rm garage}}{c^2}\Bigr) \\[6pt] &= -\,\gamma\,\frac{v\,L_{\rm garage}}{c^2} \\[4pt] &< 0 \end{aligned} $$
C’est-à-dire que, dans le référentiel de l’échelle, l’événement B (porte arrière) survient avant A (porte avant).
Il n’existe jamais un instant où les deux portes enferment entièrement l’échelle simultanément dans son propre référentiel. D’où l’échelle ne tient jamais complètement dans le garage selon elle.
En relativité, bien des absurdités apparentes prennent sens une fois le formalisme compris. Et rappelez-vous : si vous transportez une échelle à presque la vitesse de la lumière, vérifiez d’abord avec votre assurance ! 🥸