1. Un golpe, una chispa ⚒️✨

Imagina un operario maniobrando una bola de demolición.
Al soltarla, gravedad + trayectoria hacen el resto: el impacto convierte toda la energía cinética en trabajo destruyendo ladrillo.

\[ \boxed{W_{\text{neto}} = \Delta E_k = \tfrac12 m\bigl(v_f^{2}-v_i^{2}\bigr)} \]

Idea clave: trabajo no “gasta” energía; la transfiere de la fuerza al objeto.

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2. ¿De dónde sale la fórmula? 📐

Para una fuerza \(F(x)\) en 1‑D sobre masa \(m\):

\[ W = \int_{x_i}^{x_f} F\,dx = m\!\int_{t_i}^{t_f}\!a\,v\,dt = m\!\int_{v_i}^{v_f}\!v\,dv = \tfrac12 m\bigl(v_f^{2}-v_i^{2}\bigr). \]

En 3‑D se reemplaza \(F\,dx\) por \(\mathbf F\!\cdot\!d\mathbf r\).

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3. Forma vectorial completa 🧭

\[ W_{\text{neto}} = \int_{t_i}^{t_f}\mathbf F_{\text{net}}\!\cdot\!\mathbf v\,dt = \Delta\!\bigl(\tfrac12 m v^{2}\bigr). \]

Solo la componente paralela de la fuerza contribuye: empujar perpendicularmente no cambia \(E_k\).

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4. Conservativas vs. no conservativas 🏔️🔥

Si \(\mathbf F = -\nabla U\):

\[ W_{\text{cons}} = -\Delta U \quad\Rightarrow\quad \Delta\bigl(E_k+U\bigr)=0. \]

Fricción, arrastre o amortiguadores no son conservativos; convierten \(E_k\) en calor \(Q\) u otra energía interna.

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5. Zoom histórico 🤓

• Leibniz (1695): vis viva \(=m v^{2}\).
• Maupertuis (1740s): principio de acción → camino de mínimo trabajo.
• Rankine (1853) redefine \(E_k\).

El teorema es el hilo que conecta estos hitos.

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6. Caso A — Bola de demolición 🏗️

Masa \(m = 4000\,kg\) cae \(h = 5\,m\):