🏷️ العلامة: suma-velocidades-relativistas

1. De la sirena al cosmos: ¿Qué mide el Doppler?

En acústica, oímos la típica subida de tono cuando una ambulancia se acerca y su bajada cuando se aleja.   En relatividad, el Efecto Doppler altera la luz, no el sonido, y la fórmula clásica ya no sirve.

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2. Doppler longitudinal: frecuencia y longitud de onda

Para un emisor y un receptor que se alejan o acercan a lo largo de la línea de visión,

$$ \frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{em}}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}, \qquad \beta=\frac{v}{c}. $$

Expresado en frecuencias:

$$ \nu_{\text{obs}} = \nu_{\text{em}}\, \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}. $$

• Si \(v>0\) (alejándose): corrimiento al rojo (\(\lambda_{\text{obs}}>\lambda_{\text{em}}\)).
• Si \(v<0\) (acercándose): corrimiento al azul (\(\lambda_{\text{obs}}<\lambda_{\text{em}}\)).

Ejemplo astronómico:   Un planeta orbitando su estrella a \(30\ \text{km/s}\) causa un corrimiento en la línea de absorción de hierro de \(\sim 0.01\ \text{nm}\), suficiente para detectarlo.

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3. Aberración de la luz: cambio de rumbo aparente

La aberración desplaza el ángulo aparente \(\theta\) que forma un rayo con la dirección de movimiento.   Si \(\theta\) lo mide la fuente y \(\theta'\) el observador:

$$ \cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}     {1 - \beta\,\cos\theta}. $$

• Para \(\theta=90^\circ\): las estrellas se ven “arrastradas” hacia la dirección de la velocidad terrestre, con un máximo de \(\theta' \approx \arctan(v/c) \approx 20.5''\).

En física clásica, sumar velocidades es pan comido. Si un Mustang 🐎 va a 100 km/h y lanza una pelota hacia adelante a 20 km/h (respecto al coche), alguien que esté parado verá la pelota a 120 km/h. Fácil, ¿no? Pero cuando Einstein entró en escena, se acabaron estas sumas tan cómodas.

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¿Por qué no se suman velocidades normalmente?

La relatividad especial nos obliga a usar otra fórmula cuando nos acercamos a velocidades cercanas a la luz:

$$ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}} $$

• \(u\) es la velocidad resultante, medida desde el sistema de referencia "fijo".
• \(u'\) es la velocidad del objeto en el sistema en movimiento.
• \(v\) es la velocidad del sistema en movimiento respecto al fijo.
• \(c\) es la velocidad de la luz (299,792,458 m/s).

Esta fórmula garantiza que nunca se supere la velocidad de la luz, manteniendo la coherencia del universo (¡menos mal!).

Por ejemplo, si una nave espacial viaja a \(0.8c\) y lanza hacia adelante una sonda a \(0.7c\) respecto a ella, la velocidad medida desde afuera NO será \(1.5c\). Será:

$$ u = \frac{0.7c + 0.8c}{1 + \frac{(0.7c)(0.8c)}{c^2}} = \frac{1.5c}{1 + 0.56} \approx 0.96c $$

Rápido, sí. Más rápido que la luz, ¡jamás!

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La paradoja de la escalera 🪜🏠

Esta lógica relativista da lugar a situaciones divertidísimas y algo desconcertantes, como la "paradoja de la escalera" (también conocida como la "paradoja del granero").

Imagina una escalera demasiado larga para caber dentro de tu garaje. Normalmente, imposible meterla, ¿verdad? Pero ahora haz que la escalera viaje a gran velocidad hacia el garaje (sí, una escalera veloz: cosas de físicos locos).