1. Preparando el escenario

Imagina que, antes del Big Bang, lanzaras dados cósmicos: ¿podría el universo haber salido con cuatro, cinco o hasta diez dimensiones espaciales? Aquí repasaremos las “pruebas” físicas clave que debe pasar cualquier número de dimensiones \(d\) para albergar química, estrellas y primates parlanchines. Empezaremos con intuición en lenguaje claro y luego la respaldaremos con fórmulas en MathJax para que veas los números en acción.

Si te interesa cómo esta elección tan especial del espacio influye en leyes fundamentales, puedes descubrir más sobre la equivalencia masa-energía en ¿Por qué 𝐸 = 𝑚𝑐²?

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2. Gravedad, electrostática y órbitas estables

2.1 Panorama cualitativo

• Muy pocas dimensiones \((d \le 2)\): la fuerza decae muy despacio; las partículas espiralean hacia el centro.
• Demasiadas dimensiones \((d \ge 4)\): la fuerza decae muy rápido; las órbitas se desmoronan.
• Justo en \(d = 3\): el famoso \(1/r^2\) que soporta caminos cerrados y repetitivos—a Kepler le encantaría.

2.2 Análisis cuantitativo

Para un espacio de dimensión \(d\), la ley de Gauss nos da $$ F(r)\propto\frac{1}{r^{d-1}}\tag{1} $$ y el potencial correspondiente $$ V(r)\propto\frac{1}{r^{d-2}} \tag{2}. $$ Pequeñas perturbaciones de una órbita circular permanecen acotadas solo si el potencial radial efectivo tiene un mínimo; esto sucede precisamente cuando $$ d = 3 \tag{3}. $$ Si sustituimos \(d=4\) en el criterio de estabilidad, el término restaurador (como “constante de resorte”) cambia de signo: la órbita colapsa o escapa. El mismo análisis rige la nube electrónica del hidrógeno.