स्पेसटाइम अंतराल: समय-सदृश, प्रकाश-सदृश और स्थान-सदृश पृथक्करण

दो पर्यवेक्षक घटनाओं की एक ही जोड़ी को देखते हैं। वे इस बात पर सहमत हैं कि घटनाएँ हुईं, लेकिन वे उनके बीच की दूरी और बीते हुए समय के लिए अलग-अलग मान दे सकते हैं।

यह पहली नज़र में एक समस्या जैसा लग सकता है। यदि एक पर्यवेक्षक एक दूरी मापता है और दूसरा किसी दूसरी दूरी को, तो फिर दोनों इस बात पर कैसे सहमत रह सकते हैं कि घटनाएँ समय-सदृश, प्रकाश-सदृश या स्थान-सदृश रूप से पृथक हैं?

उत्तर यह है कि सापेक्षता स्थान और समय को अलग-अलग राशियों के रूप में संरक्षित नहीं करती। वह उनके एक विशेष संयोजन को संरक्षित करती है: स्पेसटाइम अंतराल (spacetime interval)।

यदि इसका ज्यामितीय चित्र आपके लिए नया है, तो Light Cones: What Can Affect What in Spacetime? एक उपयोगी शुरुआती बिंदु है। प्रकाश शंकु (light cone) घटनाओं को अपनी सीमा के भीतर, उस पर, या उसके बाहर रखता है। स्पेसटाइम अंतराल वह गणना है जो किसी आरेख पर निर्भर हुए बिना यही वर्गीकरण करती है।

स्थान और समय साथ-साथ बदलते हैं

दो घटनाओं, \(A\) और \(B\), पर विचार करें। किसी एक जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र में उनके निर्देशांक-अंतर हैं

$$ \Delta t = t_B-t_A $$

और

$$ \Delta x = x_B-x_A. $$

पहले पर्यवेक्षक के सापेक्ष स्थिर वेग से चल रहा दूसरा पर्यवेक्षक \(\Delta t\) और \(\Delta x\), दोनों के लिए अलग मान प्राप्त कर सकता है। इनमें से कोई भी मान, अपने आप में, सभी जड़त्वीय पर्यवेक्षकों के लिए समान नहीं होता।

लेकिन ये परिवर्तन मनमाने नहीं हैं। जब किसी पर्यवेक्षक की गति घटनाओं के बीच मापी गई दूरी को बदलती है, तो वह मापे गए समयांतर को भी एक समन्वित ढंग से बदलती है। स्पेसटाइम अंतराल इसी समन्वय को पकड़ता है।

एक स्थानिक आयाम में, इस पृष्ठ पर अपनाई गई चिह्न परंपरा के अनुसार, अंतराल है

$$ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2. $$

यहाँ \(c\) प्रकाश की गति है। \(\Delta t\) को \(c\) से गुणा करने पर समयांतर को दूरी में बदला जाता है, ताकि तुलना करने से पहले दोनों पद एक ही इकाइयों में हों।

\(\Delta s^2\) में वर्ग का चिन्ह संकेतन का हिस्सा है। अंतराल का मान स्वयं धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक हो सकता है। इसी चिन्ह से दोनों घटनाओं के बीच संबंध का वर्गीकरण होता है।

चिन्ह हमें क्या बताता है

इस परंपरा में

$$ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2, $$

तीन संभावनाएँ हैं:

इस प्रकार यह सूत्र एक परिचित तुलना का सटीक रूप है। धनात्मक पद उस दूरी का वर्ग है जिसे बीते हुए समय में प्रकाश तय कर सकता था। घटाया जाने वाला पद घटनाओं के स्थानिक पृथक्करण का वर्ग है। चिन्ह हमें बताता है कि इन दोनों वर्गित दूरियों में से कौन बड़ी है।

तीन स्थानिक आयामों में विचार नहीं बदलता। पूर्ण स्थानिक पृथक्करण में बस तीनों दिशाएँ शामिल हो जाती हैं:

$$ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2. $$

यहाँ उपयोग की गई परंपरा में वही चिह्न-नियम लागू होते हैं।

हर जड़त्वीय पर्यवेक्षक क्यों सहमत होता है

जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र बदलने से घटनाओं को दिए गए निर्देशांक बदल जाते हैं। लोरेन्ट्ज़ रूपांतरण (Lorentz transformation) मापे गए स्थान और समय के अंतरों को आपस में मिलाता है: जिस पर्यवेक्षक को नया \(\Delta x\) मिलता है, उसे उसके अनुरूप नया \(\Delta t\) भी मिलता है।

रूपांतरण जिस राशि को संरक्षित रखता है, वह है

$$ c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2. $$

इसे लोरेन्ट्ज़ अपरिवर्तनीयता (Lorentz invariance) कहते हैं। हर जड़त्वीय पर्यवेक्षक पृथक्करण को स्थान और समय के बीच अलग ढंग से बाँट सकता है, लेकिन सभी \(\Delta s^2\) का वही मान निकालते हैं।

इसीलिए पर्यवेक्षक बदलने के साथ वर्गीकरण नहीं बदल सकता। केवल किसी दूसरे जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र में जाने से धनात्मक अंतराल ऋणात्मक नहीं हो सकता। समय-सदृश समय-सदृश ही रहता है, प्रकाश-सदृश प्रकाश-सदृश, और स्थान-सदृश स्थान-सदृश।

अंतराल पर्यवेक्षकों के बीच असहमति को मिटाता नहीं है। वह यह पहचानता है कि उस असहमति के बावजूद क्या अपरिवर्तित रहता है।

एक स्टेशन, तीन संभावित अलार्म

मान लें कि किसी एक जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र में एक उपकरण संकेत भेजता है और एक स्टेशन 900,000 किलोमीटर दूर है। लें

$$ c\approx 300{,}000\ \text{km/s}. $$

इस संदर्भ-तंत्र में स्टेशन उसी स्थान पर रहता है, जबकि उसकी विश्वरेखा (worldline) पर तीन संभावित अलार्म घटनाएँ होती हैं। संकेत की प्रकाश-सदृश सीमा ठीक तीन सेकंड में स्टेशन तक पहुँचती है, जिससे उससे पहले का अलार्म शंकु के बाहर और बाद का अलार्म उसके भीतर आता है।

चित्र 1. उत्सर्जन से बना भविष्य का प्रकाश शंकु तीन सेकंड बाद स्टेशन तक पहुँचता है। तीन संभावित अलार्म घटनाएँ दिखाती हैं कि ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक अंतराल क्रमशः शंकु के बाहर, उसकी सीमा पर और उसके भीतर स्थितियों से कैसे मेल खाते हैं।

पहले दो सेकंड पर बजने वाले अलार्म को देखें। इतने समय में प्रकाश केवल 600,000 किलोमीटर की दूरी तय कर सकता था। अंतराल है

$$ \begin{aligned} \Delta s^2 &=(300{,}000\ \text{km/s})^2(2\ \text{s})^2-(900{,}000\ \text{km})^2\\ &=(600{,}000\ \text{km})^2-(900{,}000\ \text{km})^2\\ &=-4.5\times10^{11}\ \text{km}^2. \end{aligned} $$

परिणाम ऋणात्मक है, इसलिए दोनों घटनाएँ स्थान-सदृश रूप से पृथक हैं। यह आरेख के निष्कर्ष को ही दोहराता है: अलार्म उत्सर्जन घटना के भविष्य के प्रकाश शंकु के बाहर स्थित है, इसलिए वह विशेष संकेत उसका कारण नहीं हो सकता था।

तीन सेकंड में प्रकाश ठीक 900,000 किलोमीटर तय कर सकता है:

$$ \Delta s^2=(900{,}000\ \text{km})^2-(900{,}000\ \text{km})^2=0. $$

यह पृथक्करण प्रकाश-सदृश है। चार सेकंड पर समय वाला पद दूरी वाले पद से बड़ा हो जाता है, इसलिए अंतराल धनात्मक और पृथक्करण समय-सदृश हो जाता है।

गणना और आरेख एक ही परीक्षण करते हैं। दोनों पूछते हैं कि उपलब्ध समय उस दूरी को प्रकाश द्वारा पार करने के लिए बहुत कम है, ठीक पर्याप्त है, या आवश्यकता से अधिक है।

विपरीत चिह्न परंपरा के बारे में एक टिप्पणी

कुछ पुस्तकें अंतराल को पूरे व्यंजक के विपरीत चिन्ह के साथ परिभाषित करती हैं:

$$ \Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-c^2\Delta t^2. $$

इस परंपरा में समय-सदृश अंतराल ऋणात्मक और स्थान-सदृश अंतराल धनात्मक होते हैं। प्रकाश-सदृश अंतराल अब भी शून्य रहता है।

भौतिक रूप से कुछ भी नहीं बदला है। पूरे व्यंजक को \(-1\) से गुणा करने पर लिखित चिन्ह उलट जाता है, लेकिन वर्गीकरण वही रहता है। इसीलिए “समय-सदृश का अर्थ धनात्मक है” जैसा कथन अधूरा है, जब तक लेखक यह न बताए कि वह किस परंपरा का उपयोग कर रहा है।

बीजगणित और प्रकाश शंकु एक ही बात कहते हैं

प्रकाश शंकु ज्यामिति देता है। स्पेसटाइम अंतराल उसके नीचे काम करने वाला संदर्भ-तंत्र-स्वतंत्र परीक्षण देता है।

• यहाँ उपयोग की गई परंपरा में धनात्मक अंतराल दूसरी घटना को शंकु के भीतर रखता है।
• शून्य अंतराल उसे प्रकाश-सदृश सीमा पर रखता है।
• ऋणात्मक अंतराल उसे शंकु के बाहर रखता है।

पर्यवेक्षक घटनाओं के बीच की दूरी और बीते हुए समय पर असहमत हो सकते हैं, क्योंकि ये राशियाँ संदर्भ-तंत्र पर निर्भर करती हैं। लेकिन वे इस बात पर असहमत नहीं हो सकते कि पृथक्करण समय-सदृश, प्रकाश-सदृश या स्थान-सदृश है, क्योंकि \(\Delta s^2\) का संयोजन नहीं बदलता।

यही अंतराल की केंद्रीय देन है: यह उस चीज़ को अलग करता है जो पर्यवेक्षक के साथ बदलती है, उस कारणात्मक संरचना से जो नहीं बदलती। अगला प्रश्न यह है कि इससे स्थान-सदृश रूप से पृथक घटनाओं के लिए कौन-सी संभावना खुली रहती है—जिसे Can Two Observers Disagree About Which Event Happened First? में विकसित किया गया है—और ऐसी घटनाओं को प्रकाश से तेज़ गति से जोड़ने के प्रयास कारणता के लिए समस्या क्यों पैदा करते हैं।