Mêtric FLRW là nền tảng toán học của vũ trụ học hiện đại. Bài viết này giải thích cách đọc những gì mêtric cho biết về thời gian vũ trụ, sự giãn nở và độ cong không gian—cũng như những gì nó để cho các phương trình Friedmann quyết định.
Các nhà vũ trụ học thường xuyên cô đọng hình học quy mô lớn của vũ trụ vào một dòng toán học duy nhất.
Nếu xuất hiện mà không có lời dẫn nhập, dòng ấy trông giống một hàng rào an ninh hơn là một lời giải thích:
$$ ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\right]. $$
Đây là mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker, thường được gọi tắt là mêtric FLRW. Nó là khuôn khổ toán học đứng sau phần lớn những phát biểu hiện đại về sự giãn nở, tuổi, độ cong và lịch sử quan sát được của vũ trụ.
Nhưng phương trình này không nhất thiết phải mãi là một dòng chữ trang trọng mà ai cũng kính cẩn đi ngang qua. Mỗi thành phần của nó đều có một nhiệm vụ rõ ràng. Khi được tháo ra xem xét từng phần, nó diễn đạt một ý tưởng gọn gàng đến bất ngờ:
Nếu vũ trụ đồng nhất và đẳng hướng trên những quy mô đủ lớn, hình học của nó có thể thay đổi theo thời gian mà vẫn giữ nguyên dạng không gian tổng quát ở mọi nơi.
Mêtric FLRW là quy tắc đo lường dành cho một vũ trụ như vậy.
Ở những quy mô quen thuộc, vũ trụ rõ ràng không đồng nhất. Trái Đất đặc hơn không gian xung quanh. Ngân Hà có các ngôi sao, những đám mây khí, một lỗ đen ở trung tâm và nhiều vùng chứa rất ít vật chất. Các thiên hà tụ lại thành nhóm và cụm, còn giữa chúng là những khoảng trống khổng lồ.
Vũ trụ học không phủ nhận bất kỳ điều nào trong số đó. Thay vào đó, nó đặt câu hỏi: vũ trụ trông như thế nào khi ta lùi ra đủ xa để từng thiên hà riêng lẻ chỉ còn là những chi tiết cục bộ, chứ không phải cấu trúc chủ đạo?
Mô tả FLRW bắt đầu với hai giả định ở quy mô lớn:
Đây là những phát biểu về một mô tả đã được làm trơn, chứ không phải về từng căn phòng, hành tinh hay thiên hà. Một bản đồ địa hình có thể thể hiện hình dạng tổng quát của cả lục địa mà không cần tái hiện từng cái cây và miệng cống. FLRW cũng đưa ra một quyết định biên tập tương tự đối với vũ trụ: giữ lại hình học quy mô lớn và tạm gác sang một bên những “đồ đạc” cục bộ.
Tính đồng nhất và đẳng hướng tạo ra những ràng buộc rất mạnh. Một không gian thỏa mãn cả hai điều kiện không thể có tùy ý những ngọn đồi, nếp nhăn hay biến dạng theo một hướng nhất định trong hình học trung bình của nó. Độ cong không gian phải giống nhau tại mọi vị trí và theo mọi hướng. Trong ngôn ngữ toán học, mỗi lát cắt không gian phải có tính đối xứng cực đại.
Tính đối xứng ấy đã làm phần lớn công việc ngay cả trước khi các phương trình trường Einstein được giải.
Từ mêtric có thể khiến phương trình nghe giống như một danh sách các phép đo. Ý nghĩa thực sự của nó gần với một quy tắc dùng để đo hơn.
Trên một tờ giấy phẳng, định lý Pythagoras cho biết những thay đổi theo phương ngang và phương dọc kết hợp thành một khoảng cách như thế nào. Mêtric không-thời gian khái quát hóa ý tưởng đó. Với hai sự kiện ở gần nhau—hai điều xảy ra tại những vị trí và thời điểm hơi khác nhau—mêtric cho biết khoảng không-thời gian giữa chúng.
Khoảng ấy được viết là $ds^2$. Nó kết hợp sự phân cách giữa hai sự kiện theo thời gian với sự phân cách giữa chúng trong không gian.
Mêtric FLRW tự nhiên được chia thành hai phần:
$$ \underbrace{-c^2dt^2}_{\text{thời gian}} \qquad + \qquad \underbrace{a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\right]}_{\text{không gian}}. $$
Dấu trừ trong phần thời gian phản ánh sự khác biệt nền tảng giữa phân cách kiểu thời gian và phân cách kiểu không gian trong thuyết tương đối. Nó không có nghĩa thời gian là một đại lượng âm. Đây là một phần của hình học tạo nên các nón ánh sáng và phân biệt những sự kiện có thể tác động nhân quả lẫn nhau với những sự kiện không thể.
Phần không gian sử dụng tọa độ cầu:
Phương trình ngắn gọn như vậy vì tính đối xứng được giả định của vũ trụ đã loại bỏ mọi thứ có thể phụ thuộc vào một vị trí hoặc phương hướng đặc biệt. Phần còn lại là một hình học không gian được đặc trưng bởi $k$, nhân với một hàm biến đổi theo thời gian là $a(t)$.
Tọa độ $t$ không phải là số chỉ trên một chiếc đồng hồ được chọn tùy ý ở Trái Đất. Nó là thời gian vũ trụ.
Hãy hình dung một người quan sát lý tưởng đứng yên so với chuyển động trung bình của vật chất vũ trụ xung quanh. Người quan sát như vậy được gọi là đồng chuyển động (comoving). Các tọa độ không gian của người đó không thay đổi, vì vậy
$$ dr=d\theta=d\phi=0. $$
Dọc theo quỹ đạo của người quan sát này, phần không gian của mêtric biến mất, chỉ còn lại
$$ ds^2=-c^2dt^2. $$
Do đó, đối với người quan sát đồng chuyển động lý tưởng này, những thay đổi của $t$ cũng chính là những thay đổi trong thời gian riêng mà đồng hồ của họ ghi lại. Cả một họ những người quan sát như vậy cung cấp khái niệm thời gian vũ trụ được sử dụng trong vũ trụ học tiêu chuẩn.
Điều này không khôi phục một chiếc đồng hồ tuyệt đối do các định luật tương đối tính đòi hỏi. Vật chất và bức xạ ở quy mô lớn trong chính vũ trụ của chúng ta xác định một dòng chảy vũ trụ hữu ích. Những người quan sát khác—chuyển động nhanh so với dòng chảy đó hoặc nằm trong trường hấp dẫn mạnh—có thể trải qua những lượng thời gian riêng khác nhau.
Câu hỏi đầy đủ hơn về việc thời gian vũ trụ có thể cùng tồn tại với thuyết tương đối như thế nào được trình bày trong Nếu thời gian là tương đối, làm sao vũ trụ có thể có tuổi?. Đối với mêtric FLRW, điểm quan trọng là $t$ có một ý nghĩa vật lý: nó là thời gian riêng dọc theo những đường thế giới đồng chuyển động lý tưởng dùng để tổ chức mô hình.
Hệ số tỷ lệ $a(t)$ là phần chuyển động của hình học không gian.
Giả sử hai thiên hà lý tưởng đi theo dòng Hubble. Trong hệ tọa độ đồng chuyển động, khoảng cách tọa độ giữa chúng có thể giữ nguyên. Không thiên hà nào cần băng qua lưới tọa độ. Tuy nhiên, khoảng cách vật lý đo được giữa vị trí của chúng trên một lát cắt có thời gian vũ trụ không đổi sẽ thay đổi tỷ lệ thuận với $a(t)$.
Nếu khoảng cách đồng chuyển động cố định của chúng được biểu diễn bằng $\chi$, khoảng cách vật lý sẽ có dạng
$$ D(t)=a(t)\chi. $$
Khi $a(t)$ tăng, $D(t)$ cũng tăng. Đây là ý nghĩa hình học của sự giãn nở vũ trụ trong mô hình FLRW.
Ta rất dễ lập tức chuyển điều đó thành hình ảnh các thiên hà đang bay qua một khoảng không trống rỗng có sẵn. Hình ảnh ấy có thể hữu ích trên những khoảng cách ngắn, nhưng đó không phải điều cơ bản mà mêtric nói lên. Mêtric cho biết mối quan hệ không gian giữa các vị trí đồng chuyển động thay đổi theo thời gian. Nó không đòi hỏi phải có một căn phòng bên ngoài để vũ trụ giãn nở vào, cũng không đặt ra một điểm trung tâm mà từ đó mọi thứ được phóng đi.
Chỉ các tỷ số giữa những giá trị của hệ số tỷ lệ mới có ý nghĩa vật lý, vì vậy các nhà vũ trụ học thường chọn
$$ a(t_0)=1 $$
ở thời điểm hiện tại của vũ trụ. Nếu hệ số tỷ lệ từng bằng $1/2$ vào một thời điểm trước đây, thì khi đó những khoảng cách đồng chuyển động đủ lớn chỉ bằng một nửa giá trị hiện tại.
Sự thay đổi của hệ số tỷ lệ cũng giải thích dịch chuyển đỏ vũ trụ học. Dịch chuyển đỏ $z$ là một đại lượng không thứ nguyên, đo mức độ thay đổi của bước sóng ánh sáng từ lúc phát ra đến lúc được quan sát:
$$ 1+z=\frac{\lambda_{\text{quan sát}}}{\lambda_{\text{phát ra}}}. $$
Đối với ánh sáng được phát ra tại thời gian vũ trụ $t_e$ và được quan sát tại thời gian vũ trụ $t_0$, hình học FLRW cho ta
$$ 1+z=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}. $$
Ví dụ, nếu $z=1$, bước sóng quan sát được dài gấp đôi bước sóng khi phát ra, và hệ số tỷ lệ chỉ bằng một nửa giá trị hiện tại khi ánh sáng bắt đầu hành trình. Nói tổng quát hơn, bước sóng mà những người quan sát đồng chuyển động đo được tăng tỷ lệ thuận với $a(t)$ trong khi ánh sáng truyền qua vũ trụ đang giãn nở. Vì vậy, dịch chuyển đỏ cung cấp thông tin về hệ số tỷ lệ tại thời điểm ánh sáng được phát ra. Tuy nhiên, để chuyển một giá trị dịch chuyển đỏ quan sát được thành tuổi hoặc khoảng cách, ta cần một mô hình mô tả $a(t)$ đã tiến hóa như thế nào.
Ký hiệu $k$ mô tả độ cong nội tại của mỗi lát cắt không gian có thời gian vũ trụ không đổi.
Trong dạng mêtric được viết ở trên:
Hình học không gian phẳng có tính Euclid ở cấp độ cục bộ: các tam giác trắc địa tuân theo quy tắc Euclid, với tổng các góc trong đúng bằng $180$ độ. Trong không gian cong dương, tổng các góc của tam giác trắc địa lớn hơn $180$ độ; trong không gian cong âm, tổng ấy nhỏ hơn $180$ độ. Sự khác biệt trở nên rõ rệt hơn khi tam giác lớn lên so với thang độ cong của không gian, còn những vùng đủ nhỏ trong cả hai loại hình học cong đều trông gần như phẳng.
Những phép so sánh này cần được sử dụng thận trọng. Một không gian ba chiều cong không cần phải uốn vào một chiều không gian thứ tư mới có thể sở hữu độ cong nội tại. Những cư dân bị giới hạn trong không gian đó vẫn có thể phát hiện độ cong bằng cách thực hiện các phép đo hình học hoàn toàn ở bên trong nó.
“Phẳng về mặt không gian” cũng không có nghĩa “không-thời gian phẳng”. Ngay cả khi $k=0$, một hệ số tỷ lệ đang thay đổi vẫn có thể tạo ra không-thời gian cong, các hiệu ứng hấp dẫn, dịch chuyển đỏ vũ trụ học và một vũ trụ đang tiến hóa. Giá trị $k$ mô tả hình học bên trong một lát cắt thời gian vũ trụ. Độ cong không-thời gian liên quan đến toàn bộ hình học bốn chiều, bao gồm cách những lát cắt ấy thay đổi từ thời điểm này sang thời điểm khác.
Dấu của $k$ cũng không tự nó giải quyết mọi câu hỏi về tô pô toàn cục của vũ trụ. Độ cong mô tả hình học cục bộ; cách không gian kết nối với chính nó trên những quy mô lớn nhất là một câu hỏi riêng. Mêtric FLRW vốn đã đủ bận rộn rồi, không cần bắt nó phải quyết định luôn toàn bộ sơ đồ mặt bằng.
Đây là điểm phân biệt mà những bài nhập môn thường vội vàng lướt qua nhất.
Tính đồng nhất và đẳng hướng cho biết mêtric có thể được viết dưới dạng FLRW. Nhưng chúng không cho biết hàm $a(t)$ bắt buộc phải có dạng nào.
Một mêtric FLRW với một hệ số tỷ lệ nhất định có thể mô tả một vũ trụ do bức xạ chi phối. Một mêtric khác có thể mô tả vũ trụ do vật chất chi phối. Một trường hợp khác nữa có thể chứa hằng số vũ trụ học và tăng tốc vào những thời kỳ muộn. Cùng một dạng hình học tổng quát có thể chứa nhiều lịch sử vũ trụ khác nhau.
Để xác định quá trình tiến hóa, các nhà vũ trụ học đưa mêtric FLRW vào các phương trình trường Einstein và chỉ định những thành phần chứa trong vũ trụ. Khi đó, các phương trình trường rút gọn thành một hệ quan hệ đơn giản hơn nhiều, gọi là các phương trình Friedmann.
Một trong số đó có thể được viết như sau, trong đó $\rho$ được biểu diễn theo đơn vị mật độ khối lượng:
$$ H^2(t)\equiv\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 =\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{kc^2}{a^2} +\frac{\Lambda c^2}{3}. $$
Vế trái chứa tham số Hubble $H(t)$, tức tốc độ biến thiên tương đối của hệ số tỷ lệ. Dấu chấm biểu thị đạo hàm theo thời gian vũ trụ.
Vế phải cho biết những gì ảnh hưởng đến sự giãn nở:
Đây mới chỉ là một trong các phương trình Friedmann. Áp suất cũng quan trọng: nó xuất hiện trong phương trình gia tốc đi kèm và ảnh hưởng đến cách các thành phần vũ trụ khác nhau tiến hóa. Bức xạ, vật chất và năng lượng chân không không chỉ đóng góp những lượng mật độ khác nhau; mật độ của chúng còn thay đổi theo những cách khác nhau khi vũ trụ giãn nở.
Từ đó, ta có một sự phân công rõ ràng:
Mêtric FLRW cung cấp dạng hình học quy mô lớn được phép tồn tại. Các phương trình Friedmann xác định hình học ấy tiến hóa như thế nào sau khi những thành phần của vũ trụ được chỉ định.
Vì vậy, một mô hình vũ trụ học cụ thể không chỉ đơn giản là bốn chữ FLRW. Nó còn đòi hỏi những lựa chọn về vật chất, bức xạ, độ cong, năng lượng tối và các điều kiện ban đầu. Mô hình $\Lambda$CDM tiêu chuẩn là một lựa chọn như vậy, đã được kiểm nghiệm bằng bức xạ nền vi sóng vũ trụ, sự phân cụm thiên hà, các siêu tân tinh và nhiều quan sát khác.
Khi các quan sát đã ràng buộc được thành phần của vũ trụ và các phương trình Friedmann xác định được $a(t)$, khuôn khổ FLRW trở thành một cỗ máy tính toán cho vũ trụ học.
Nó cho phép các nhà vũ trụ học liên hệ dịch chuyển đỏ với thời gian vũ trụ, tính thời gian nhìn ngược và các đại lượng khoảng cách, tái dựng lịch sử giãn nở và ước tính tuổi của vũ trụ. Nó cung cấp hình học để thảo luận về các chân trời hạt và nón ánh sáng quá khứ của chúng ta. Nó cũng tạo ra các lát cắt có thời gian vũ trụ không đổi, trên đó các nhà vũ trụ học có thể mô tả trạng thái của những vùng xa xôi tại cùng một thời đại vũ trụ—mặc dù không người quan sát nào có thể trực tiếp nhìn thấy toàn bộ một lát cắt như vậy cùng một lúc.
Đây không phải những thủ thuật tách biệt tình cờ được gom chung dưới một cụm chữ viết tắt. Chúng là những hệ quả khác nhau của việc áp dụng cùng một hình học không-thời gian ở quy mô lớn.
Mêtric cũng giải thích vì sao sự giãn nở không có trung tâm không gian trong mô hình FLRW. Tính đồng nhất có nghĩa mọi vị trí đồng chuyển động đều tham gia vào cùng một mô hình quy mô lớn. Một thiên hà ở nơi khác không nhìn thấy tất cả các thiên hà khác đang rời xa vị trí của chúng ta; xét trung bình, nó nhìn thấy cùng một kiểu giãn nở lấy chính nó làm trung tâm. Ở đây, “lấy chính nó làm trung tâm” mô tả hình ảnh biểu kiến của một trường vận tốc đồng nhất, chứ không phải việc phát hiện ra tổng hành dinh đặc quyền của vũ trụ.
Không nhà vũ trụ học nghiêm túc nào tin rằng vũ trụ thực sự hoàn toàn trơn nhẵn.
Các thiên hà có vận tốc riêng so với sự giãn nở trung bình. Các thiên hà và cụm thiên hà là những hệ liên kết bởi lực hấp dẫn. Những vùng trống giãn nở khác với các vùng đặc. Lỗ đen tạo ra những hình học không-thời gian rất ít giống với một vùng FLRW trơn nhẵn. Đồng hồ thực cũng trải qua những chênh lệch nhỏ về lượng thời gian riêng tích lũy do chuyển động và thế hấp dẫn.
Vũ trụ học tiêu chuẩn xử lý điều này bằng cách coi FLRW là một hình học nền rồi đặt các nhiễu loạn lên trên nó. Nền mô tả sự giãn nở trung bình; các nhiễu loạn mô tả những biến thiên mật độ, chuyển động riêng và những mầm ban đầu phát triển thành cấu trúc vũ trụ.
Đây không phải một miếng vá đáng xấu hổ được thêm vào sau khi mô hình quên mất sự tồn tại của các thiên hà. Đó là một hệ thống mô tả theo cấp bậc. Mêtric Schwarzschild có thể mô tả không-thời gian gần một khối lượng hình cầu lý tưởng mà không cần đóng vai trò bản đồ của toàn bộ vũ trụ. FLRW có thể mô tả vũ trụ ở quy mô lớn mà không giả vờ rằng vùng lân cận quanh mọi ngôi sao đều đồng nhất.
Mô hình giành được vị trí của mình nhờ khả năng tổ chức thành công các quan sát. Những phép đo bức xạ nền vi sóng vũ trụ, sự phân bố thiên hà ở quy mô lớn, dao động âm học baryon và các siêu tân tinh đều phù hợp một cách đáng kinh ngạc với mô tả $\Lambda$CDM dựa trên FLRW. Sự phù hợp ấy không biến phép xấp xỉ thành tuyệt đối chính xác. Nó khiến phép xấp xỉ trở nên hữu ích, có thể kiểm nghiệm và mạnh mẽ một cách khác thường.
Mêtric FLRW bắt đầu bằng một hành động đơn giản hóa quyết liệt. Làm trơn các hành tinh, thiên hà, cụm thiên hà và khoảng trống. Chỉ giữ lại một vũ trụ đồng nhất và đẳng hướng trong không gian, nhưng vẫn tự do thay đổi theo thời gian.
Những gì còn lại sau sự đơn giản hóa ấy không hề thiếu cấu trúc.
Số hạng thời gian cung cấp thời gian vũ trụ dọc theo dòng chảy đồng chuyển động. Số hạng độ cong không gian quyết định hình học của từng lát cắt vũ trụ. Hệ số tỷ lệ cho phép khoảng cách giữa các vị trí đồng chuyển động tiến hóa. Các phương trình Einstein liên hệ sự tiến hóa ấy với vật chất và năng lượng lấp đầy vũ trụ.
Mêtric không cho ta biết mọi sự kiện xảy ra trong vũ trụ. Nó làm một việc nền tảng hơn: cho ta biết sân khấu quy mô lớn được đo lường như thế nào và sân khấu ấy có thể chứa đựng những dạng lịch sử vũ trụ nào.
Vũ trụ thực vô cùng phức tạp, không đều và đầy những ngoại lệ cục bộ. Nhưng trên những quy mô lớn nhất, nó dường như sở hữu một thứ ngữ pháp đơn giản đến đáng kinh ngạc.
Mêtric FLRW chính là thứ ngữ pháp ấy, được viết thành công thức.
Facebook
Reddit
WhatsApp
Twitter
Kommentarer
0 kommentarer
Logga in för att gå med i konversationen.
Ingen har svarat än. Kommentarer kommer att dyka upp här när konversationen startar.