温度–エントロピー線図の読み方

数式による説明が何もないまま、下の線図を目にしたと想像してみてください。

図1 — 見慣れないT–s線図。計算を始める前に、何が読み取れるでしょうか。

この図から、計算を始める前にどれほどのことがわかるのでしょうか。

実は、かなり多くのことがわかります。ただし、それには正しい順序で読み解く必要があります。温度–エントロピー線図には、熱力学的状態、それらの状態を結ぶ過程、そして場合によっては熱移動を幾何学的に表した情報が重ね合わされています。これらの層は互いに関係していますが、同じものではありません。

最も確実なのは、線図を地図上の経路のように読む方法です。まず座標を確認し、次に立ち寄る地点を見つけ、進行方向をたどります。そのあとで初めて、経路の形が何を意味するのかを考えます。

1. 軸を読む

温度–エントロピー線図は、一般にT–s線図と呼ばれ、縦軸に絶対温度、横軸に比エントロピーを取ります。

縦軸の座標は、

$$ T = \text{絶対温度}. $$

温度は通常、ケルビンで表されます。熱力学の方程式では絶対温度を使うため、摂氏や華氏のゼロ点を物理的な絶対零度であるかのように扱ってT–s線図を解釈してはいけません。

横軸の座標は、

$$ s = \text{比エントロピー}. $$

小文字の$s$は、単位質量当たりのエントロピーを意味します。一般的な単位は、ジュール毎キログラム毎ケルビン、またはキロジュール毎キログラム毎ケルビンです。

$$ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot K}} \qquad \text{または} \qquad \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}. $$

比エントロピーを使うことで、物質の量を特定せずに、その熱力学的状態を線図上に表せます。温度と比エントロピーが同じなら、1キログラムの蒸気も10キログラムの蒸気も、T–s線図上では同じ点に位置します。

ここから、まず確実に読み取れるのは次のことです。

• 上に移動すれば、温度が高くなる。
• 下に移動すれば、温度が低くなる。
• 右に移動すれば、比エントロピーが大きくなる。
• 左に移動すれば、比エントロピーが小さくなる。

これらが表しているのは座標の変化です。その変化が何によって生じたのかまでは、まだ説明していません。

2. 状態を読む

ラベルの付いた各点は、熱力学的状態を表します。

ある点に$1$という番号が付いていれば、その座標から、その状態における温度$T_1$と比エントロピー$s_1$がわかります。同様に、$2$と記された点は$T_2$と$s_2$を示します。

点そのものは、運動や変化を表すものではありません。どちらかといえば、一瞬を切り取った写真のようなものです。

一方、2点を結ぶ線には別の情報があります。この線は理想化された過程経路、つまり系が一方の端点からもう一方の端点へ移る間に通過する一連の状態を表します。

この区別は重要です。2つの過程が同じ状態から始まり、同じ状態で終わったとしても、その間にたどる経路は異なることがあります。端点からは、系がどこから出発し、どこに到着したかがわかります。経路からは、そこへどのように到達したかがわかります。

3. 方向をたどる

矢印のない経路からは、状態同士がつながっていることはわかりますが、それらをどの順序で通過するかまでは必ずしもわかりません。矢印があれば、過程の進行方向が定まります。

状態$1$と$2$を曲線が結び、矢印が$1$から$2$へ向いているとします。このとき、両端の座標を比較できます。

• $T_2 > T_1$なら、全体として温度は上昇する。
• $T_2 < T_1$なら、全体として温度は低下する。
• $s_2 > s_1$なら、全体として比エントロピーは増加する。
• $s_2 < s_1$なら、全体として比エントロピーは減少する。

ここでは「全体として」という点が重要です。曲線状の経路は、両端の間で上昇したり、下降したり、向きを変えたりするかもしれません。線図に示された物理量が過程の途中でどのように変化するかを表すのは、最終的な変位だけでなく、経路全体です。

ここからは注意も必要になります。右向きの経路は、比エントロピーが増加していることを示します。しかし、それだけでは増加の物理的な原因をすべて特定できません。熱移動とエントロピー生成の両方が関係する可能性があり、両者を区別するには幾何学的な形だけでは不十分です。この問題は、T–s線図における可逆過程と不可逆過程で詳しく扱います。

4. 最も単純な向きを見分ける

軸を見れば直接判別できる経路の向きが2つあります。

垂直な経路は等エントロピー過程

垂直な線分に沿って移動するとき、横軸の座標は変化しません。したがって、

$$ ds = 0, $$

または同じ意味で、

$$ s = \text{一定}. $$

エントロピーが一定に保たれる過程を等エントロピー過程といいます。

この線分上では、どの点でも$s$の値が同じであるため、線図から等エントロピー過程だと判断できます。しかし、エントロピーが一定に保たれた理由や、実際の装置がこの経路を厳密にたどるかどうかまでは、この線図だけではわかりません。

水平な経路は等温過程

水平な線分に沿って移動するとき、縦軸の座標は変化しません。したがって、

$$ dT = 0, $$

または、

$$ T = \text{一定}. $$

温度が一定に保たれる過程を等温過程といいます。

これも幾何学的な判別です。水平線は、温度が一定であることを意味します。熱移動量が一定という意味ではなく、系にどれだけの熱が入ったか、あるいは系からどれだけの熱が出たかを示すものでもありません。

この2つの向きは、線図を読む際の便利な手がかりになります。

• 垂直なら$s$が一定。
• 水平なら$T$が一定。
• 傾いた線分や曲線では、一般に両方の座標が変化する。

形だけを見ても、よく知られた過程名を付けられないことがあります。しかし、付ける必要はありません。線図を読むために、すべての曲線を分類する必要はないのです。

5. 前提条件を確認しながら面積を見る

T–s線図の最も強力な特徴は、同時に最も過剰解釈されやすい特徴でもあります。

内部可逆過程では、単位質量当たりの微小な熱移動量は次の関係を満たします。

$$ \delta q_{\mathrm{rev}} = T\,ds. $$

数式の前にある言葉が重要です。これは、内部可逆な熱移動について成り立つ関係です。

状態$1$から状態$2$までの可逆過程では、

$$ q_{\mathrm{rev}} = \int_1^2 T\,ds. $$

$T$を$s$に対して描いたグラフでは、この積分は$s_1$から$s_2$までの過程経路の下にある符号付き面積に幾何学的に対応します。

単位を確認すると、この解釈が正しいことがわかります。温度と比エントロピーを掛けると、

$$ \mathrm{K} \left( \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}} \right) = \mathrm{\frac{kJ}{kg}}, $$

となり、単位質量当たりのエネルギーになります。

経路の方向も重要です。過程が$s$の増加する方向へ進むなら、$ds$は正です。減少する方向へ進むなら、$ds$は負になります。したがって、積分には大きさだけでなく符号もあります。

ただし、この視覚的な規則には必ず条件を付けなければなりません。

T–s線図上の経路の下の面積が単位質量当たりの熱移動量を表すのは、その経路が適切な内部可逆過程を表している場合です。

不可逆過程の初期状態と最終状態を任意の曲線で結んでも、その下の面積が実際の熱移動量に自動的に等しくなるわけではありません。現実の過程では系の内部でエントロピーが生成されることがあるため、エントロピーの変化を常に「熱移動量を温度で割ったもの」と解釈することはできません。

この境界については、T–s線図の面積が熱を表せる理由で詳しく扱います。また、適切な条件のもとで面積が境界仕事に対応するP–V線図との違いも参考になります。詳しくは、T–s線図とP–V線図をご覧ください。

6. 閉じたループを読む

経路が最終的に初期状態へ戻ると、閉じたループになります。このとき、系は熱力学サイクルを完了しています。

最終状態が初期状態と同じなので、すべての熱力学的状態量は出発時の値に戻ります。したがって、サイクル終了時の温度と比エントロピーも、開始時と同じです。

この結論は、経路が閉じていること自体から導かれます。そのループがどの名前の付いたサイクルに似ているかを知る必要はありません。

すべての線分が内部可逆であるなら、ループに沿った積分、

$$ \oint T\,ds, $$

には正味の熱移動量としての意味があり、その符号付きの幾何学的な値は、サイクルが囲む面積に対応します。この可逆性の条件がない場合、囲まれた面積を実際の熱移動量、効率、エネルギー損失の普遍的な尺度として扱ってはいけません。

ループから最初にわかるのは、系が初期状態へ戻るということです。それ以上の解釈には、追加の物理的情報が必要です。

読み方を実際に当てはめる

先ほどの見慣れない線図に戻り、今度は最も基本的な特徴に注釈を付けて見てみましょう。

図2 — 読み方を当てはめた同じ線図。GitHubでSVGのソースを表示または改変できます。

名前の付いたサイクルを特定しなくても、この線図を読み解くことができます。

1. 軸： 縦方向の位置は絶対温度を、横方向の位置は比エントロピーを表します。

2. 状態： $A$、$B$、$C$、$D$は熱力学的状態です。

3. 方向： 矢印は$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$という順序を示します。

4. 経路の特徴： $A$から$B$までの線分は垂直なので、等エントロピー過程です。$C$から$D$までの線分は水平なので、等温過程です。曲線部分では、温度とエントロピーの両方が変化します。

5. 開いた経路かサイクルか： 経路は$A$に戻るため、サイクルを表しています。

6. 面積： 経路はある面積を囲んでいます。しかし、その面積に熱移動量としての意味を与えるには、それぞれの線分が内部可逆過程を表しているかどうかを知る必要があります。

これだけでも、かなりのことが読み取れています。何が変化するのか、2つの線分では何が一定なのか、過程がどちら向きに進むのか、そして幾何学的な形だけから判断できる範囲がどこで終わるのかがわかります。

この例では、相領域をあえて省略しています。T–s線図におなじみの飽和ドームが描かれている場合、状態の位置を判断するには、もう一段階の解釈が必要です。それについては、飽和ドームの読み方で扱います。T–s線図とP–V線図で見るオットーサイクルのような、名前の付いたサイクルの解析はさらにその先です。

5段階の読み方

新しいT–s線図を目にしたら、毎回同じ順序で読み進めます。

1. 軸と単位を読む。
   縦軸が絶対温度、横軸が比エントロピーであることを確認します。

2. 状態と方向を見つける。
   端点からわかることと、矢印や経路からわかることを分けて考えます。

3. 単純な向きを見分ける。
   垂直な線分は等エントロピー過程、水平な線分は等温過程です。

4. 経路とループの形を見る。
   過程が開いているのか、それとも初期状態へ戻るのかを確認します。

5. 面積の解釈に必要な前提条件を確認する。
   可逆性と、描かれた経路が何を意味するのかが明らかになるまで、幾何学的な面積を熱移動量に置き換えてはいけません。

この順序は、次のように簡潔にまとめられます。

\[ \text{軸} \rightarrow \text{状態} \rightarrow \text{方向} \rightarrow \text{経路の特徴} \rightarrow \text{面積の前提条件}. \]

T–s線図が視覚的に強力なのは、状態に関する情報、過程に関する情報、そして条件付きの熱移動に関する情報を1つの図にまとめているからです。計算を始める前から、その幾何学的な形は読み手の目を導いてくれます。しかし、過程の背後にある物理的な前提条件の代わりにはなりません。

したがって、次に問うべきなのは単に「どんな面積が見えるか」ではありません。「この経路が表す面積を熱と解釈できるほど可逆なのは、なぜか」という問いです。