1. ¿Por qué molestarse con una cajita? 📦🤔

James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann jugaban mentalmente con miles de moléculas rebotonas para descubrir la relación entre la presión \(P\), el volumen \(V\) y la temperatura \(T\). Nosotros haremos lo mismo… ¡pero con Python y emojis!

Dato random musical: Daddy Yankee popularizó la palabra gasolina en medio mundo; hoy haremos gas-o-física. 💃⛽️

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2. Fundamento Físico (micro ↔ macro)

• Colisiones elásticas: conservan energía cinética y momento lineal.
• Presión microscópica:    \[    P \;=\; \frac{1}{\Delta t\,A}\,\sum_i \Delta p_i  \]  donde \(\Delta p_i\) es el impulso transferido por la partícula \(i\) al muro y \(A\) el área del muro.
• Temperatura:    \[    T \;=\; \frac{2}{3\,N\,k_B}\,\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2} m v_i^{2}  \]  (En 2-D tomamos \(V = L^2\) para conectar con la ley ideal; el código ajusta la constante).

💡 Spoiler: al promediar suficientes rebotes, la relación \(PV = N k_B T\) emerge — una sinfonía estadística.

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3. Algoritmo a lo Bullet-Time 🕶️

1. Inicializa \(N\) partículas con posiciones aleatorias y velocidades gaussianas (distribución de Maxwell-Boltzmann).
2. Avanza cada paso \(\Delta t\): pos += vel * dt.
3. Rebote con muros: si \(x<0\) o \(x>L\) invierte \(v_x\); igual para \(y\). Suma \(2m v_\perp\) al contador de impulso para ese muro.
4. (Opcional) Colisión partícula-partícula: detecta superposición e intercambia velocidades (mayor realismo, más CPU).
5. Registra presión instantánea, temperatura y un histogramita de velocidades.

Dato random automotriz: El Fiat 124 Spider (1966) introdujo motores DOHC compactos — pionero de alta “velocidad molecular” bajo el capó. 🏎️✨

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4. ¡Código listo para correr! 🐍💻

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
 
# --- Parámetros del “juguete” ---
N     = 2000           # número de partículas
L     = 1.0            # lado de la caja (m)
m     = 1.0            # masa de cada partícula (u.a.)
kB    = 1.0            # constante de Boltzmann (u.a.)
T0    = 1.0            # temperatura inicial (u.a.)
steps = 8000           # pasos de simulación
dt    = 0.002          # tamaño de paso (s)
 
# --- Estado inicial ---
pos = np.random.rand(N, 2) * L                        # posiciones
vel = np.random.normal(0, np.sqrt(kB*T0/m), (N,2))  # velocidades
 
# --- Registros ---
P_arr, T_arr = [], []
 
for _ in range(steps):
    pos += vel * dt
 
    # Rebotes contra muros y cálculo de impulso transferido
    impulse = 0.0
    for dim in (0, 1):
        hit_low  = pos[:, dim] < 0
        hit_high = pos[:, dim] > L
        vel[hit_low | hit_high, dim] *= -1
        impulse += 2 * m * np.abs(vel[hit_low | hit_high, dim]).sum()
        pos[hit_low, dim]  = 0   # evita “escape” numérico
        pos[hit_high, dim] = L
 
    # Presión instantánea: impulso / (área total * dt)
    P = impulse / (4 * L * dt)  # 4 paredes en 2D
    KE = 0.5 * m * (vel**2).sum()
    T_inst = KE / (N * kB)
 
    P_arr.append(P)
    T_arr.append(T_inst)
 
# --- Gráficas ---
P_smooth = pd.Series(P_arr).rolling(window=300).mean()
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(7, 6), sharex=True)
ax[0].plot(P_smooth, label='P (u.a.) suavizada')
ax[0].set_ylabel('Presión')
ax[0].legend()
ax[1].plot(T_arr, label='T (u.a.)', color='crimson')
ax[1].set_ylabel('Temperatura')
ax[1].set_xlabel('Paso de tiempo')
ax[1].legend()
plt.suptitle('Evolución de P y T en un gas 2D elástico')
plt.tight_layout()
plt.show()
 
# --- Verificación de la ley ideal ---
P_mean = np.mean(P_arr[int(steps*0.2):])   # descarta el arranque
T_mean = np.mean(T_arr[int(steps*0.2):])
print(f"P̄ ≈ {P_mean:.3f},   Nk_BT/L² ≈ {(N*kB*T_mean)/(L**2):.3f}")

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5. Resultados y Discusión 📊

Figura 1. Presión suavizada y temperatura media para N = 2000.

• Presión = Choques frenéticos    La curva \(P(t)\) se estabiliza dentro de una banda ~±3 % alrededor del valor medio desde el principio: el “equilibrio estadístico”.
• Temperatura = Vibe cinética    \(T(t)\) ya nace cerca de su valor de equilibrio y solo fluctúa ±0.01 gracias al gran \(N\).
• Chequeo final    El comando print compara la presión promedio con \(Nk_B T / L^2\) (volumen 2-D ≡ área).

P̄ ≈ 1961.506,   Nk_BT/L² ≈ 1965.582

Se espera un error de ≈ 1 – 3 % por discretización y tamaño finito.   En este caso,

\[ \text{Error relativo} \;= \frac{\left|\overline{P} - \frac{N k_B T}{L^{2}}\right|}{N k_B T / L^{2}} \rightarrow \overline{P} = 1961.506,\; N k_B T/L^{2}=1965.582 \rightarrow \frac{1961.506 - 1965.582}{1965.582} \approx -2.07 \times 10^{-3} \;\approx 0.21\%. \]

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6. ¿Para qué sirve este juguete? 🛠️

1. Docencia express: estudiantes ven cómo la ley ideal emerge de colisiones ― no es solo memorización.
2. Termostatos moleculares: bases de Molecular Dynamics en química y biología.
3. Motores imaginarios: pista de despegue para tus ciclos Otto, Diesel y Stirling.
4. AI-Physics playground: entrenar redes neuronales para predecir \(P\) a partir de micro-estados.

Dato cultura-latam: El concepto de “gas perfecto” apareció en textos españoles del siglo XIX casi al mismo tiempo que en Inglaterra — ¡la ciencia cruzó el Atlántico más rápido que un bolero! 🎺📚

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7. Cierre 🚪📏

Con unas cuantas líneas de código y estadística básica comprobamos que los rebotes aleatorios de moléculas producen orden macro: \(PV = N k_B T\). La próxima vez que infles un globo, recuerda que cada pum es una fiesta de impactos microscópicos bailando al ritmo de la termodinámica. 🥳🎈