Un guide fondé sur des diagrammes pour comprendre le passé causal, le futur causal et les séparations de genre espace — et pourquoi la relativité préserve l’ordre causal sans imposer une chronologie universelle.
Supposons qu’un instrument situé en un point donné émette un signal. Deux secondes plus tard, une station éloignée enregistre une alerte.
Le premier événement a-t-il pu provoquer le second ?
La réponse ne dépend pas simplement des mots avant et après. Elle dépend de la distance entre les événements, du temps qui les sépare et de la possibilité qu’une influence quelconque ait parcouru cette distance à temps. La relativité nous fournit un diagramme qui permet de répondre précisément à cette question : le cône de lumière.
On présente souvent le cône de lumière comme une illustration de la règle selon laquelle rien ne se déplace plus vite que la lumière. C’est exact, mais cette formulation ne met pas l’accent au bon endroit. L’utilité fondamentale du diagramme est de montrer quels événements peuvent être reliés causalement. La vitesse de la lumière est importante parce qu’elle délimite le domaine des influences possibles.
En relativité, un événement est quelque chose qui se produit en un lieu et à un instant précis : un détecteur se déclenche, une lampe s’allume, un message arrive. Pour construire un diagramme de cône de lumière, on commence par choisir un tel événement comme point de référence.
Imaginons maintenant que cet événement émette un éclair lumineux. À mesure que le temps passe, la lumière se propage dans toutes les directions de l’espace. Dans l’espace ordinaire à trois dimensions, le front d’onde en expansion prendrait la forme d’une sphère.
Un diagramme élémentaire de l’espace-temps omet deux dimensions spatiales et ne représente qu’une seule direction horizontale, tandis que le temps s’écoule verticalement. Le front lumineux en expansion apparaît donc sous la forme de deux lignes diagonales. Si l’on représente à la fois le futur et le passé de l’événement choisi, ces lignes forment le double cône caractéristique.
Le cône n’est pas une enveloppe physique qui se déplacerait dans l’espace. C’est une carte construite autour d’un événement. Ses différentes régions classent les autres événements selon qu’une influence entre eux est possible ou non.
Figure 1. Le cône de lumière autour de l’événement O. Le temps s’écoule verticalement et une dimension spatiale est représentée horizontalement ; les directions spatiales omises sont comprimées pour faciliter la lecture.
Au centre se trouve l’événement \(O\), le point par rapport auquel tout le reste du diagramme est classé. La question est toujours relationnelle : un autre événement aurait-il pu influencer \(O\), ou \(O\) pourrait-il l’influencer ?
Les événements situés à l’intérieur du cône inférieur appartiennent au passé causal de \(O\). Ils se sont produits suffisamment tôt et suffisamment près pour qu’un signal ne dépassant pas la vitesse de la lumière ait pu atteindre \(O\). Il pourrait s’agir d’un interrupteur actionné à proximité, d’une transmission radio envoyée auparavant ou d’un objet physique arrivant en \(O\).
Les événements situés sur la frontière inférieure constituent un cas limite : seule une chose se déplaçant exactement à la vitesse de la lumière pourrait les relier à \(O\). Pour les événements strictement situés à l’intérieur, une influence plus lente disposerait de suffisamment de temps. Ensemble, l’intérieur et la frontière du cône regroupent tout ce qui aurait pu influencer \(O\) dans la situation d’espace-temps plat représentée ici.
Les événements situés à l’intérieur du cône supérieur appartiennent au futur causal de \(O\). L’événement \(O\) pourrait les influencer en envoyant dans la bonne direction de la lumière, un signal radio, une particule, une personne ou tout autre moyen de transmission physiquement possible. Là encore, atteindre la frontière exige une propagation à la vitesse de la lumière, tandis que les points intérieurs peuvent être atteints plus lentement.
Les cônes du passé et du futur ne montrent donc pas seulement où va la lumière. Ils organisent toutes les chaînes possibles de cause à effet impliquant \(O\).
La frontière diagonale est tracée par les rayons lumineux qui quittent \(O\) ou qui y arrivent. Un événement situé sur cette frontière est séparé de \(O\) par un intervalle de genre lumière : la distance et le temps écoulé correspondent exactement à ce que la lumière peut parcourir.
Cette ligne est importante parce qu’elle constitue la limite entre deux domaines. Déplacez légèrement un événement vers l’intérieur et une influence plus lente que la lumière pourra peut-être le relier à \(O\). Déplacez-le légèrement vers l’extérieur et même la lumière ne disposera plus d’assez de temps.
Les événements situés à l’extérieur du cône sont séparés de \(O\) par un intervalle de genre espace. Ils sont trop éloignés pour le temps disponible. Aucun signal se déplaçant à une vitesse égale ou inférieure à celle de la lumière ne pourrait passer d’un événement à l’autre dans la configuration représentée.
Cela ne signifie pas que les objets concernés seront à jamais incapables de communiquer. Cette classification s’applique à une paire précise d’événements. Une fois qu’un signal aura eu suffisamment de temps pour arriver, un événement ultérieur sur la trajectoire de l’un des objets dans l’espace-temps pourra se trouver à l’intérieur du cône de lumière futur de l’autre.
Nous pouvons maintenant associer le vocabulaire usuel au diagramme, sans en faire une leçon de mathématiques distincte :
Ces termes décrivent la séparation entre une paire précise d’événements. Ils ne classent pas de manière permanente les objets auxquels ces événements sont associés.
Revenons à l’instrument et à la station éloignée. Supposons qu’ils soient distants de 900 000 kilomètres et que l’alarme de la station se déclenche deux secondes après l’émission du signal par l’instrument.
La lumière se déplace à environ 300 000 kilomètres par seconde. En deux secondes, la distance maximale qu’une influence causale pourrait parcourir est donc d’environ 600 000 kilomètres. Or la station se trouve à 900 000 kilomètres.
L’émission ne peut pas avoir provoqué cette alarme précise. Les deux événements sont séparés par un intervalle de genre espace.
Si l’alarme se déclenchait exactement trois secondes après l’émission, la lumière pourrait tout juste parcourir la distance. Chaque événement se trouverait alors sur la frontière du cône de lumière de l’autre. Si elle se déclenchait quatre secondes plus tard, un signal plus lent que la lumière aurait suffisamment de temps pour effectuer le trajet : la séparation serait donc de genre temps.
Sous une forme compacte, le même test consiste à comparer la distance entre les événements à la distance maximale qu’une influence aurait pu parcourir pendant le temps écoulé :
$$ |\Delta x| \lessgtr c|\Delta t| $$
Si \(|\Delta x|\) est inférieur à \(c|\Delta t|\), la séparation est de genre temps. Si les deux quantités sont égales, elle est de genre lumière. Si \(|\Delta x|\) est supérieur, la séparation est de genre espace.
Ces symboles n’introduisent aucune idée nouvelle. Ils expriment avec exactitude la comparaison fondée sur le trajet possible d’un signal.
Le diagramme révèle à présent quelque chose de plus précis qu’une règle universelle déterminant quel événement s’est produit en premier.
Si un événement se trouve à l’intérieur du cône de lumière d’un autre événement ou sur sa frontière, les deux peuvent être reliés causalement. Différents observateurs inertiels peuvent leur attribuer des coordonnées temporelles différentes, mais tous s’accordent sur leur ordre causal. Une cause ne devient pas son propre effet simplement parce qu’un observateur se déplace différemment.
La situation change pour les événements séparés par un intervalle de genre espace. Puisqu’aucun des deux ne peut influencer l’autre dans la configuration représentée, différents observateurs inertiels peuvent ne pas être d’accord sur celui qui s’est produit en premier. Certains peuvent considérer que l’événement \(A\) précède l’événement \(B\), tandis que d’autres estiment que \(B\) précède \(A\). Dans un référentiel choisi à cet effet, les deux événements peuvent même être simultanés.
Ce désaccord ne rend pas la causalité subjective. Aucun signal se déplaçant à la vitesse de la lumière ou plus lentement ne peut relier les deux événements ; aucun ne peut donc être la cause de l’autre. La relativité préserve l’ordre qu’exige toute influence causale. Elle n’impose pas une séquence indépendante de l’observateur à chaque paire d’événements éloignés.
Un cône de lumière divise l’espace-temps autour d’un événement en trois régions pratiques : ce qui aurait pu l’influencer, ce qu’il pourrait influencer par la suite et ce qui demeure hors de portée causale pour cette paire précise d’événements. Sa frontière est tracée par la lumière, car celle-ci indique la trajectoire la plus rapide par laquelle une influence peut se propager.
Voilà la compétence essentielle que nous offre ce diagramme. Pour deux événements donnés, il suffit de situer l’un par rapport au cône de l’autre :
Le cône fournit la géométrie. L’étape suivante consiste à rechercher le test mathématique qui effectue la même classification sans dépendre d’un dessin. Ce test est l’intervalle d’espace-temps, qui distingue les relations de genre temps, de genre lumière et de genre espace indépendamment du référentiel.
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