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Imagina que, antes del Big Bang, lanzaras dados cósmicos: ¿podría el universo haber salido con cuatro, cinco o hasta diez dimensiones espaciales? Aquí repasaremos las “pruebas” físicas clave que debe pasar cualquier número de dimensiones (d) para albergar química, estrellas y primates parlanchines. Empezaremos con intuición en lenguaje claro y luego la respaldaremos con fórmulas en MathJax para que veas los números en acción.
Si te interesa cómo esta elección tan especial del espacio influye en leyes fundamentales, puedes descubrir más sobre la equivalencia masa-energía en ¿Por qué 𝐸 = 𝑚𝑐²?
Para un espacio de dimensión \(d\), la ley de Gauss nos da $$ F(r)\propto\frac{1}{r^{d-1}}\tag{1} $$ y el potencial correspondiente $$ V(r)\propto\frac{1}{r^{d-2}} \tag{2}. $$ Pequeñas perturbaciones de una órbita circular permanecen acotadas solo si el potencial radial efectivo tiene un mínimo; esto sucede precisamente cuando $$ d = 3 \tag{3}. $$ Si sustituimos (d=4) en el criterio de estabilidad, el término restaurador (como “constante de resorte”) cambia de signo: la órbita colapsa o escapa. El mismo análisis rige la nube electrónica del hidrógeno.
Los electrones necesitan un delicado tira y afloja entre la atracción coulombiana y la energía cinética de punto cero. Modificar el exponente en el término de Coulomb rompe ese equilibrio.
La energía del estado fundamental del hidrógeno en (d) dimensiones (unidades atómicas) se comporta como
$$ E_0(d)\sim-\frac{1}{2}(d-2)^{2}. \tag{4} $$
Espectros discretos estables ⇔ \(d = 3\). Adiós, tabla periódica en cualquier otra \(d\).
Las ondas esféricas se propagan sobre el área superficial \(A_d(r)\sim r^{d-1}\). La intensidad escala como
$$ I(r)\propto\frac{1}{r^{d-1}}. \tag{5} $$
En 3-D se puede atar un nudo que no se deshace sin cortar. En 2-D las cuerdas no pueden cruzarse, así que no hay nudos; en \(d \ge 4\) se deslizan entre sí trivialmente, deshaciéndose sin esfuerzo. La biología compleja (piensa en el ADN superenrollado) aprovecha literalmente este “privilegio de los nudos”.
Añade un círculo espacial de radio \(R \ll 10^{-18}\mathrm{m}\). El momento alrededor de ese lazo se nos presenta como carga eléctrica. Elegante, pero sigue siendo efectivamente tridimensional a escalas humanas.
Matemáticamente rico; observacionalmente, aún en búsqueda de huellas.
“Si el cosmos no pudiera albergar a preguntadores, nadie preguntaría.”
Ese es el principio antrópico en una línea. Entre los boletos de lotería del multiverso, solo los ganadores 3-D generan planetas, química, listas de reproducción de Spotify y blogs.
Tres dimensiones espaciales no son una elección de moda cósmica arbitraria: están integradas en la estabilidad de fuerzas, átomos, ondas y enredos que hacen posible la complejidad. Las dimensiones extra podrían acechar, pero mantienen un perfil microscópico para que nuestro mundo macroscópico siga girando sin problemas.