Интервал пространства-времени: времениподобное, светоподобное и пространственноподобное разделение

Два наблюдателя следят за одной и той же парой событий. Оба согласны с тем, что события произошли, но могут приписывать им разные расстояния и разные промежутки времени.

На первый взгляд это кажется проблемой. Если один наблюдатель измеряет одно расстояние, а другой — другое, как они всё же могут соглашаться в том, что события разделены времениподобным, светоподобным или пространственноподобным интервалом?

Дело в том, что теория относительности не сохраняет пространство и время как две отдельные величины. Она сохраняет их определённую комбинацию: интервал пространства-времени.

Если геометрическая картина пока непривычна, полезной отправной точкой будет статья Световые конусы: что на что может влиять в пространстве-времени?. Световой конус располагает события внутри своей границы, на ней или за её пределами. Интервал пространства-времени позволяет получить ту же классификацию расчётом, без обращения к диаграмме.

Пространство и время меняются вместе

Рассмотрим два события, \(A\) и \(B\). В одной инерциальной системе отсчёта различия их координат равны

$$ \Delta t = t_B-t_A $$

и

$$ \Delta x = x_B-x_A. $$

Другой наблюдатель, движущийся с постоянной скоростью относительно первого, может получить другие значения как для \(\Delta t\), так и для \(\Delta x\). Ни одна из этих величин сама по себе не одинакова для всех инерциальных наблюдателей.

Но меняются они не произвольно. Когда движение наблюдателя изменяет измеренное расстояние между событиями, измеренный промежуток времени меняется вместе с ним вполне определённым образом. Именно эту взаимосвязь и выражает интервал пространства-времени.

В одном пространственном измерении, при принятом на этой странице соглашении о знаках, интервал равен

$$ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2. $$

Здесь \(c\) — скорость света. Умножение \(\Delta t\) на \(c\) превращает разность времён в расстояние, так что перед сравнением обе величины выражаются в одинаковых единицах.

Квадрат в записи \(\Delta s^2\) является частью обозначения. Сам интервал может быть положительным, нулевым или отрицательным. Именно его знак определяет характер связи между двумя событиями.

О чём говорит знак интервала

При соглашении

$$ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2, $$

возможны три случая:

Таким образом, эта формула даёт точное выражение уже знакомого сравнения. Положительный член — квадрат расстояния, которое свет мог бы пройти за данный промежуток времени. Вычитаемый член — квадрат пространственного расстояния между событиями. Знак показывает, какое из этих расстояний в квадрате больше.

В трёх пространственных измерениях идея остаётся той же. Полное пространственное расстояние просто учитывает все три направления:

$$ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2. $$

При используемом здесь соглашении действуют те же правила знаков.

Почему все инерциальные наблюдатели согласны

При переходе к другой инерциальной системе отсчёта меняются координаты, приписываемые событиям. Преобразование Лоренца смешивает измеренные различия в пространстве и времени: наблюдатель, получающий новое значение \(\Delta x\), одновременно получает соответствующее новое значение \(\Delta t\).

Но преобразование сохраняет величину

$$ c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2. $$

Это называется лоренцевой инвариантностью. Разные инерциальные наблюдатели могут по-разному распределять разделение между пространством и временем, но все они получают одно и то же значение \(\Delta s^2\).

Именно поэтому тип разделения не может зависеть от наблюдателя. Положительный интервал не станет отрицательным только потому, что кто-то перешёл в другую инерциальную систему отсчёта. Времениподобное разделение остаётся времениподобным, светоподобное — светоподобным, а пространственноподобное — пространственноподобным.

Интервал не устраняет разногласия между наблюдателями. Он показывает, что сохраняется несмотря на эти разногласия.

Одна станция и три возможных срабатывания тревоги

Предположим, что в одной инерциальной системе отсчёта прибор испускает сигнал, а станция находится на расстоянии 900 000 километров. Возьмём

$$ c\approx 300{,}000\ \text{км/с}. $$

В этой системе станция остаётся в одном и том же месте, а вдоль её мировой линии могут произойти три возможных события — срабатывания тревоги. Светоподобная граница сигнала достигает станции ровно через три секунды: более раннее срабатывание оказывается за пределами конуса, а более позднее — внутри него.

Рисунок 1. Будущий световой конус от события испускания достигает станции через три секунды. Три возможных момента срабатывания тревоги показывают, как отрицательный, нулевой и положительный интервалы соответствуют положениям за пределами конуса, на его границе и внутри него.

Начнём со срабатывания тревоги через две секунды. За это время свет мог бы пройти лишь 600 000 километров. Интервал равен

$$ \begin{aligned} \Delta s^2 &=(300{,}000\ \text{км/с})^2(2\ \text{с})^2-(900{,}000\ \text{км})^2\\ &=(600{,}000\ \text{км})^2-(900{,}000\ \text{км})^2\\ &=-4.5\times10^{11}\ \text{км}^2. \end{aligned} $$

Результат отрицателен, поэтому два события разделены пространственноподобным интервалом. Это совпадает с выводом диаграммы: срабатывание тревоги находится за пределами будущего светового конуса события испускания, а значит, именно этот сигнал не мог вызвать тревогу.

Через три секунды свет успевает пройти ровно 900 000 километров:

$$ \Delta s^2=(900{,}000\ \text{км})^2-(900{,}000\ \text{км})^2=0. $$

Такое разделение является светоподобным. Через четыре секунды временной член становится больше пространственного, поэтому интервал оказывается положительным, а разделение — времениподобным.

Расчёт и диаграмма выполняют один и тот же тест. Они отвечают на вопрос: имеющегося времени слишком мало, ровно достаточно или более чем достаточно, чтобы свет успел преодолеть это расстояние?

О противоположном соглашении о знаках

Некоторые книги определяют интервал с противоположным общим знаком:

$$ \Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-c^2\Delta t^2. $$

При таком соглашении времениподобные интервалы отрицательны, а пространственноподобные — положительны. Светоподобные интервалы по-прежнему равны нулю.

Физически ничего не изменилось. Умножение всего выражения на \(-1\) меняет записанный знак на противоположный, но сохраняет классификацию. Поэтому утверждение вроде «времениподобный интервал положителен» неполно, если автор не указал, каким соглашением о знаках он пользуется.

Алгебра и световой конус говорят об одном и том же

Световой конус даёт геометрическую картину. Интервал пространства-времени даёт лежащий в её основе тест, не зависящий от системы отсчёта.

• Положительный интервал при используемом здесь соглашении помещает второе событие внутрь конуса.
• Нулевой интервал помещает его на светоподобную границу.
• Отрицательный интервал помещает его за пределы конуса.

Наблюдатели могут расходиться в оценке расстояния и промежутка времени между событиями, потому что эти величины зависят от системы отсчёта. Но они не могут расходиться в том, является ли разделение времениподобным, светоподобным или пространственноподобным, потому что комбинация \(\Delta s^2\) от системы отсчёта не зависит.

В этом и состоит главное достоинство интервала: он отделяет то, что меняется вместе с наблюдателем, от причинной структуры, которая остаётся неизменной. Следующий вопрос — какие возможности это оставляет для пространственноподобно разделённых событий, что рассматривается в статье Могут ли два наблюдателя не соглашаться о том, какое событие произошло первым?, и почему попытки связать такие события быстрее света создают проблемы для причинности.