2025년 8월 22일 금요일 아카이브

• Mini-universo N-cuerpos: órbitas, slingshots y resonancias

  작성자: roberto.c.alfredo 방: physics 2025. 8. 22. 오전 2:23에

  1. ¿Por qué modelar esto? 🌠

  Porque con \(N>2\) no hay solución analítica — aparece el caos determinista. La compu se vuelve telescopio: podemos contar historias orbitales en cámara lenta y aprender de estabilidad, energía y transferencia de momento.

  Mini-glosario express

  • Cuerpo/partícula: agente con masa \(m\).
  • \(\vec r_{ij}\): vector desde \(i\) a \(j\); \(r_{ij}=||\vec r_{ij}||\).
  • \(G\): constante gravitacional (usamos u.a.: \(G=1\)).
  • \(\vec v, \vec a\): velocidad y aceleración.
  • COM: centro de masa. Quitamos su movimiento para que la “escena” no se nos vaya del encuadre.
  • \(\varepsilon\) (softening): acolchado numérico: \(\sqrt{r^2+\varepsilon^2}\) evita singularidades en choques muy cercanos.
  • \(\Delta t\): paso de tiempo; muy grande ⇒ inestabilidad, muy chico ⇒ más lento pero más fiel.

  Dato musical random: Walking on the Moon (The Police, 1979) es perfecto de fondo; en nuestro universo nadie camina… ¡todos orbitan! 🎶🌙

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  2. Física exprés (pero bien puesta) 🧠🔭

  • Segunda ley de Newton para cada cuerpo \(i\):  \[  m_i\,\vec a_i \;=\; \sum_{j\neq i} \vec F_{ij}.  \]

  • Integración temporal (Velocity-Verlet): con aceleración \(\vec a(t)\),  \[  \vec x_{t+\Delta t} = \vec x_t + \vec v_t\,\Delta t + \tfrac12\vec a_t\,\Delta t^2,\qquad  \vec v_{t+\Delta t} = \vec v_t + \tfrac12\left(\vec a_t + \vec a_{t+\Delta t}\right)\Delta t.  \]  Es casi conservativo de energía (mucho más que Euler).

  • Energía total (con suavizado \(\varepsilon\) para evitar singularidades numéricas):  \[  E = \underbrace{\tfrac12\sum_i m_i |\vec v_i|^2}_{\text{Cinética}}      \;-\; \underbrace{\sum_{i<j}\frac{G\,m_i m_j}{\sqrt{r_{ij}^2+\varepsilon^2}}}_{\text{Potencial}}.  \]

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• Integración Verlet: coreografía estable para mundos numéricos

  작성자: roberto.c.alfredo 방: physics 2025. 8. 22. 오후 10:08에

  1. El problema de siempre: ¿cómo avanzar en el tiempo?

  Imagina que tienes un planeta girando en torno a una estrella. Tú conoces sus posiciones y velocidades en el presente, y la fuerza que actúa (gravedad). La pregunta eterna: ¿dónde estará un pasito después?

  Aquí entra la integración numérica. En la compu, el tiempo no es continuo: vivimos de ticks discretos \(\Delta t\). Pero cuidado: si eliges mal el método, tu planeta puede terminar fugándose a otra galaxia solo porque el algoritmo le metió más energía de la cuenta. 😅

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  2. El primo bruto: Euler

  El método de Euler dice:

  \[ \vec x_{t+\Delta t} \approx \vec x_t + \vec v_t \,\Delta t, \qquad \vec v_{t+\Delta t} \approx \vec v_t + \vec a_t\,\Delta t. \]

  Es directo y fácil, pero no conserva la energía. Resultado: órbitas que deberían ser elipses terminan como espirales abiertas o colapsos al centro. Un desastre.

  Analogía musical: es como tocar batería sin metrónomo. Empiezas bien, pero al tercer compás ya vas a destiempo. 🥁

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  3. La idea de Verlet (1967)

  Loup Verlet, trabajando en dinámica molecular, pensó: “¿Y si uso tanto la aceleración presente como la futura para equilibrar la velocidad?” Boom:

  \[ \vec x_{t+\Delta t} = \vec x_t + \vec v_t \,\Delta t + \tfrac{1}{2}\vec a_t\,\Delta t^2, \]

  \[ \vec v_{t+\Delta t} = \vec v_t + \tfrac{1}{2}\left(\vec a_t + \vec a_{t+\Delta t}\right)\Delta t. \]

  Esto es el Velocity-Verlet, el que usamos en el bloque N-cuerpos. Lo mágico: es un integrador simpléctico. Palabra rimbombante que significa que respeta la geometría del espacio de fases: la energía no se “derrite” tan fácil.

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