时空间隔：类时、类光与类空分离

两位观察者观测同一对事件。他们都确认这两个事件发生了，但测得的事件间距离和时间间隔可能各不相同。

这听起来似乎有点问题。如果一位观察者测得一个距离，另一位测得的却不同，他们怎么还能一致认定这两个事件之间是类时、类光或类空分离？

答案是，相对论并不要求空间和时间这两个量各自保持不变。保持不变的是它们的一种特定组合：时空间隔。

如果你还不熟悉相关的几何图像，可以先读光锥：在时空中，什么能够影响什么？。光锥可以把事件划分到锥内、边界上或锥外。时空间隔则通过计算完成同样的分类，无须依赖图示。

空间与时间一起变化

考虑两个事件 \(A\) 和 \(B\)。在某个惯性参考系中，它们的坐标差为

$$ \Delta t = t_B-t_A $$

以及

$$ \Delta x = x_B-x_A. $$

另一位相对于前者做匀速运动的观察者，测得的 \(\Delta t\) 和 \(\Delta x\) 都可能不同。这两个量单独来看，都不是所有惯性观察者共同认可的不变量。

但这些变化并非任意发生。当观察者的运动使测得的事件间距离发生变化时，测得的时间间隔也会以相互关联的方式变化。时空间隔刻画的正是这种关联。

在一个空间维度中，采用本文的正负号约定，时空间隔为

$$ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2. $$

这里，\(c\) 是光速。将 \(\Delta t\) 乘以 \(c\)，就把时间差换算成了距离，使两项能够在相同单位下进行比较。

\(\Delta s^2\) 中的平方符号是这一记号的一部分。时空间隔本身可以为正、为零或为负。正是这个正负号，决定了两个事件之间的分离类型。

正负号告诉了我们什么

采用以下约定：

$$ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2, $$

便有三种可能：

因此，这个公式把一种熟悉的比较变成了精确的计算。正项是光在这段时间内所能传播的距离的平方，减去的那一项则是两个事件之间空间距离的平方。结果的正负，取决于这两个距离的平方哪个更大。

扩展到三个空间维度，思路并没有改变。只需在完整的空间距离中计入三个方向：

$$ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2. $$

在本文采用的约定下，正负号的判定规则仍然相同。

为什么所有惯性观察者都会得出相同结论

切换惯性参考系，会改变赋予事件的坐标。洛伦兹变换会把测得的空间差与时间差混合起来：观察者得到新的 \(\Delta x\) 时，也会得到与之对应的新的 \(\Delta t\)。

这一变换保持不变的是

$$ c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2. $$

这就是洛伦兹不变性。不同惯性观察者可能会以不同方式，把两个事件之间的分离分配到空间和时间上，但所有人算出的 \(\Delta s^2\) 都相同。

因此，分离类型不会因观察者而改变。一个正的时空间隔，不会仅仅因为有人换到了另一个惯性参考系就变成负的。类时仍是类时，类光仍是类光，类空仍是类空。

时空间隔并没有消除观察者之间的分歧，而是指出了在这些分歧中依然不变的东西。

一座站点，三种可能的警报事件

假设在某个惯性参考系中，一台仪器发出信号，而一座站点位于距它 900,000 千米的地方。取

$$ c\approx 300{,}000\ \text{km/s}. $$

在这个参考系中，站点的位置保持不变。沿着它的世界线，考虑三个可能发生的警报事件。信号的类光边界恰好在三秒时到达站点，因此，更早发生的警报位于锥外，更晚发生的警报则位于锥内。

图 1. 从发射事件出发的未来光锥在三秒后到达站点。这三个可能的警报事件展示了负、零、正的时空间隔如何分别对应锥外、边界上和锥内的位置。

先看两秒时发生的警报。在这段时间里，光只能传播 600,000 千米。时空间隔为

$$ \begin{aligned} \Delta s^2 &=(300{,}000\ \text{km/s})^2(2\ \text{s})^2-(900{,}000\ \text{km})^2\\ &=(600{,}000\ \text{km})^2-(900{,}000\ \text{km})^2\\ &=-4.5\times10^{11}\ \text{km}^2. \end{aligned} $$

结果为负，因此这两个事件之间是类空分离。这与图示的结论一致：警报事件位于发射事件的未来光锥之外，不可能由这次发出的信号引起。

到三秒时，光恰好能传播 900,000 千米：

$$ \Delta s^2=(900{,}000\ \text{km})^2-(900{,}000\ \text{km})^2=0. $$

这时的分离是类光的。到四秒时，时间项大于距离项，因此时空间隔为正，分离为类时。

计算和图示做的是同一个检验：给定的时间，对于光跨越这段距离来说，究竟是不够、刚好足够，还是绰绰有余。

关于相反的正负号约定

有些书会采用整体符号相反的定义：

$$ \Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-c^2\Delta t^2. $$

在这种约定下，类时间隔为负，类空间隔为正。类光间隔仍然为零。

物理上没有任何变化。将整个表达式乘以 \(-1\)，会翻转写出来的正负号，却不会改变分离类型。因此，“类时就意味着正值”这样的说法并不完整，除非作者已经说明采用的是哪种约定。

代数与光锥表达的是同一件事

光锥给出几何图像，时空间隔则给出其背后不依赖参考系的判据。

• 在本文采用的约定下，正的时空间隔意味着第二个事件位于锥内。
• 零间隔意味着它位于类光边界上。
• 负的时空间隔意味着它位于锥外。

观察者可以对两个事件之间的距离和经过的时间有不同测量结果，因为这些量依赖于参考系。但他们不可能对分离究竟是类时、类光还是类空得出不同结论，因为组合量 \(\Delta s^2\) 不依赖于参考系。

这正是时空间隔最有价值的地方：它把随观察者而变化的量，与保持不变的因果结构区分开来。接下来的问题是，对于类空分离的事件，这还留下了哪些可以不同的地方——**《两位观察者会对事件发生的先后顺序产生分歧吗？》**将进一步探讨这一点——以及为什么试图以超光速连接这类事件会给因果关系带来麻烦。