Метрика FLRW — математическая основа современной космологии. Разберёмся, что она говорит о космическом времени, расширении и пространственной кривизне — и какие вопросы оставляет уравнениям Фридмана.
Космологи регулярно упаковывают крупномасштабную геометрию Вселенной в одну строку математической записи.
Если привести эту строку без всякой подготовки, она будет больше похожа не на объяснение, а на защитное ограждение:
$$ ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\right]. $$
Это метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера, обычно сокращаемая до метрики FLRW. Она служит математической основой большинства современных утверждений о расширении, возрасте, кривизне и наблюдаемой истории Вселенной.
Но это уравнение вовсе не обязано оставаться торжественной надписью, мимо которой все почтительно проходят. У каждой его части есть ясная задача. Если разобрать выражение по частям, обнаружится удивительно лаконичная идея:
Если на достаточно больших масштабах Вселенная однородна и изотропна, её геометрия может меняться со временем, сохраняя при этом одну и ту же общую пространственную форму повсюду.
Метрика FLRW — это правило измерения для такой Вселенной.
На привычных нам масштабах Вселенная явно неоднородна. Земля плотнее окружающего её пространства. В Млечном Пути есть звёзды, газовые облака, центральная чёрная дыра и огромные области, почти лишённые вещества. Галактики собираются в группы и скопления, между которыми простираются гигантские пустоты.
Космология ничего из этого не отрицает. Вместо этого она задаётся вопросом: как выглядит Вселенная, если отступить достаточно далеко, чтобы отдельные галактики превратились в элементы местной фактуры, а не оставались главным узором?
Описание FLRW начинается с двух предположений о крупных масштабах:
Это утверждения о сглаженном описании, а не о каждой комнате, планете или галактике. Карта рельефа может передавать общую форму континента, не воспроизводя каждое дерево и каждый ливневый сток. FLRW принимает похожее редакторское решение в отношении космоса: сохраняет крупномасштабную геометрию и временно отодвигает в сторону местную обстановку.
Однородность и изотропность накладывают очень сильные ограничения. Пространство, обладающее обоими свойствами, не может в своей средней геометрии иметь произвольные холмы, складки или искажения, зависящие от направления. Его пространственная кривизна должна быть одинаковой в каждой точке и во всех направлениях. На языке математики каждый пространственный срез должен быть максимально симметричным.
Эта симметрия выполняет значительную часть работы ещё до того, как кто-либо приступит к решению уравнений поля Эйнштейна.
Слово метрика может создавать впечатление, будто перед нами перечень измерений. В действительности это скорее правило, по которому производятся измерения.
На плоском листе бумаги теорема Пифагора показывает, как горизонтальные и вертикальные смещения складываются в расстояние. Метрика пространства-времени обобщает эту идею. Если заданы два близких события, немного различающихся пространственными координатами и временем, метрика определяет интервал между ними в пространстве-времени.
Этот интервал обозначается как $ds^2$. Он объединяет то, что разделяет события во времени, с тем, что разделяет их в пространстве.
Метрика FLRW естественным образом делится на две части:
$$ \underbrace{-c^2dt^2}_{\text{время}} \qquad + \qquad \underbrace{a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\right]}_{\text{пространство}}. $$
Знак минус во временно́й части отражает фундаментальное различие между времениподобным и пространственноподобным разделением в теории относительности. Он вовсе не означает, что время отрицательно. Это часть геометрии, которая создаёт световые конусы и отделяет события, способные причинно влиять друг на друга, от событий, между которыми такое влияние невозможно.
В пространственной части используются сферические координаты:
Уравнение настолько компактно потому, что предполагаемая симметрия Вселенной уже устранила всё, что могло бы зависеть от какого-либо особого места или направления. Остаётся пространственная геометрия, характеризуемая величиной $k$ и умноженная на одну изменяющуюся функцию — $a(t)$.
Координата $t$ — это не показание часов, произвольно выбранных где-нибудь на Земле. Это космическое время.
Представьте идеального наблюдателя, остающегося в покое относительно окружающего его среднего космического вещества. Такой наблюдатель называется сопутствующим. Его пространственные координаты не меняются, поэтому
$$ dr=d\theta=d\phi=0. $$
Вдоль траектории этого наблюдателя пространственная часть метрики исчезает, и остаётся
$$ ds^2=-c^2dt^2. $$
Таким образом, для идеального сопутствующего наблюдателя изменения $t$ соответствуют изменениям собственного времени, которое показывают его часы. Целое семейство таких наблюдателей задаёт космическое время, используемое в стандартной космологии.
Это не возвращает нам абсолютные часы, существования которых якобы требовали бы законы относительности. Просто крупномасштабное распределение вещества и излучения в нашей конкретной Вселенной выделяет удобный космологический поток. Другие наблюдатели — быстро движущиеся относительно этого потока или находящиеся в сильных гравитационных полях — могут отсчитать иное количество собственного времени.
Более подробно вопрос о том, как космическое время может сосуществовать с относительностью, рассматривается в статье Если время относительно, как у Вселенной может быть возраст?. Для метрики FLRW важно следующее: величина $t$ имеет физический смысл — это собственное время вдоль идеальных сопутствующих мировых линий, на которых строится модель.
Масштабный фактор $a(t)$ — это меняющаяся часть пространственной геометрии.
Предположим, две идеальные галактики следуют потоку Хаббла. В сопутствующих координатах расстояние между их координатами может оставаться неизменным. Ни одной из галактик не требуется перемещаться по координатной сетке. И всё же физическое расстояние между их положениями, измеренное на срезе постоянного космического времени, меняется пропорционально $a(t)$.
Если их постоянное сопутствующее расстояние обозначить как $\chi$, физическое расстояние примет вид
$$ D(t)=a(t)\chi. $$
Когда $a(t)$ увеличивается, увеличивается и $D(t)$. В этом заключается геометрический смысл космического расширения в модели FLRW.
Есть соблазн немедленно представить это как галактики, разлетающиеся сквозь уже существующую пустоту. На небольших расстояниях такая картина может быть полезна, но метрика в своей основе говорит не об этом. Она утверждает, что пространственные отношения между сопутствующими положениями меняются со временем. Ей не требуется ни внешнее помещение, в которое должна расширяться Вселенная, ни центральная точка, из которой всё когда-то разлетелось.
Физическое значение имеют только отношения значений масштабного фактора, поэтому космологи обычно выбирают
$$ a(t_0)=1 $$
для современной космической эпохи. Если в более ранний момент масштабный фактор был равен $1/2$, то достаточно большие расстояния между сопутствующими точками в ту эпоху составляли половину их современной величины.
Тот же меняющийся масштабный фактор объясняет космологическое красное смещение. Красное смещение $z$ — безразмерная мера того, насколько изменилась длина световой волны между излучением и наблюдением:
$$ 1+z=\frac{\lambda_{\text{наблюдаемая}}}{\lambda_{\text{излучённая}}}. $$
Для света, излучённого в космический момент $t_e$ и наблюдаемого в момент $t_0$, геометрия FLRW даёт
$$ 1+z=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}. $$
Например, если $z=1$, наблюдаемая длина волны вдвое превышает длину волны при излучении, а когда свет начал своё путешествие, масштабный фактор составлял половину современного значения. В более общем случае длина волны, измеряемая сопутствующими наблюдателями, по мере распространения света через расширяющуюся Вселенную растёт пропорционально $a(t)$. Поэтому красное смещение сообщает нам о величине масштабного фактора в момент излучения света, хотя для преобразования наблюдаемого красного смещения в возраст или расстояние нужна модель эволюции $a(t)$.
Символ $k$ описывает внутреннюю кривизну каждого пространственного среза с постоянным космическим временем.
В приведённой выше форме метрики:
Плоская пространственная геометрия локально евклидова: геодезические треугольники подчиняются правилу евклидовой геометрии, и сумма их внутренних углов составляет ровно $180$ градусов. В пространстве с положительной кривизной сумма углов геодезического треугольника превышает $180$ градусов, а с отрицательной — оказывается меньше $180$ градусов. Разница становится заметнее по мере того, как размеры треугольника приближаются к масштабу кривизны пространства, тогда как достаточно малые области любой искривлённой геометрии выглядят приблизительно плоскими.
С этими аналогиями нужно обращаться осторожно. Искривлённому трёхмерному пространству не обязательно изгибаться в четвёртом пространственном измерении, чтобы обладать внутренней кривизной. Обитатели, не способные покинуть такое пространство, могли бы обнаружить его кривизну с помощью геометрических измерений, проведённых целиком внутри него.
«Пространственно плоское» также не означает, что «пространство-время плоское». Даже при $k=0$ меняющийся масштабный фактор может создавать искривлённое пространство-время, гравитационные эффекты, космологическое красное смещение и эволюционирующую Вселенную. Величина $k$ описывает геометрию внутри среза космического времени. Кривизна пространства-времени относится ко всей четырёхмерной геометрии, включая то, как эти срезы меняются от одного момента к другому.
Знак $k$ сам по себе не решает и всех вопросов о глобальной топологии Вселенной. Кривизна описывает локальную геометрию; то, как пространство связано на самых больших масштабах, — отдельный вопрос. Метрика FLRW и без того выполняет достаточно работы, чтобы не поручать ей ещё и весь план здания.
Именно это различие чаще всего торопливо обходят во вводных объяснениях.
Однородность и изотропность говорят нам, что метрику можно записать в форме FLRW. Но они не определяют, какой именно должна быть функция $a(t)$.
Метрика FLRW с одним масштабным фактором может описывать Вселенную, в которой преобладает излучение. Другая может описывать Вселенную с преобладанием вещества. Ещё одна может включать космологическую постоянную и позднее перейти к ускоренному расширению. Одна и та же общая геометрическая форма способна вместить множество различных космических историй.
Чтобы определить эволюцию, космологи подставляют метрику FLRW в уравнения поля Эйнштейна и задают состав Вселенной. После этого уравнения поля сводятся к гораздо более простому набору соотношений, называемых уравнениями Фридмана.
Одно из них можно записать следующим образом, если $\rho$ выражена в единицах массовой плотности:
$$ H^2(t)\equiv\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 =\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{kc^2}{a^2} +\frac{\Lambda c^2}{3}. $$
В левой части находится параметр Хаббла $H(t)$ — относительная скорость изменения масштабного фактора. Точка обозначает производную по космическому времени.
Правая часть показывает, что влияет на расширение:
Это лишь одно из уравнений Фридмана. Давление тоже имеет значение: оно входит в сопутствующее уравнение ускорения и влияет на эволюцию различных компонентов Вселенной. Излучение, вещество и энергия вакуума не просто вносят в общую плотность разные вклады — их плотности по-разному меняются по мере расширения Вселенной.
Так возникает чёткое разделение обязанностей:
Метрика FLRW задаёт допустимую крупномасштабную форму геометрии. Уравнения Фридмана определяют, как эта геометрия эволюционирует после того, как задан состав Вселенной.
Поэтому конкретная космологическая модель — это не просто буквы FLRW. Для неё необходимо задать содержание вещества и излучения, пространственную кривизну, тёмную энергию и начальные условия. Стандартная модель $\Lambda$CDM — один из таких вариантов, проверенный с помощью наблюдений реликтового излучения, распределения галактик, сверхновых и других данных.
После того как наблюдения ограничивают возможный состав Вселенной, а уравнения Фридмана определяют $a(t)$, аппарат FLRW превращается в рабочий двигатель космологии.
Он позволяет космологам связывать красное смещение с космическим временем, вычислять время распространения света и различные меры расстояния, восстанавливать историю расширения и оценивать возраст Вселенной. Он задаёт геометрию, необходимую для обсуждения горизонтов частиц и нашего прошлого светового конуса. Кроме того, он предоставляет срезы постоянного космического времени, на которых космологи описывают состояние удалённых областей в одну и ту же космическую эпоху, — хотя ни один наблюдатель не может непосредственно увидеть такой срез целиком.
Это не разрозненные приёмы, случайно собранные под одной аббревиатурой. Всё это — разные следствия принятия одной и той же крупномасштабной геометрии пространства-времени.
Метрика также объясняет, почему в модели FLRW у расширения нет пространственного центра. Однородность означает, что каждое сопутствующее положение участвует в одном и том же крупномасштабном процессе. Наблюдатель в другой галактике не увидит, как все остальные галактики удаляются именно от нас; в среднем он увидит такую же картину расширения с центром в собственном положении. Слова «с центром в собственном положении» здесь описывают вид однородного поля скоростей, а не обнаружение привилегированной космической штаб-квартиры.
Ни один серьёзный космолог не считает реальную Вселенную идеально гладкой.
Галактики обладают пекулярными скоростями относительно среднего расширения. Галактики и их скопления удерживаются вместе гравитацией. Пустоты расширяются иначе, чем плотные области. Чёрные дыры создают геометрии пространства-времени, мало похожие на гладкую окрестность FLRW. Для реальных часов накопленное собственное время также немного различается из-за движения и гравитационного потенциала.
Стандартная космология учитывает это, рассматривая FLRW как фоновую геометрию, поверх которой накладываются возмущения. Фон описывает среднее расширение, а возмущения — изменения плотности, пекулярные движения и начальные неоднородности, из которых вырастает космическая структура.
Это не неловкая заплатка, которую пришлось наложить после того, как модель не заметила существования галактик. Это иерархия описаний. Метрика Шварцшильда может описывать пространство-время вблизи идеальной сферической массы, не будучи при этом картой всей Вселенной. Точно так же FLRW может описывать крупномасштабную Вселенную, не притворяясь, будто окрестности каждой звезды однородны.
Своё место эта модель заслужила тем, что успешно упорядочивает наблюдения. Наблюдения реликтового излучения, крупномасштабного распределения галактик, барионных акустических осцилляций и сверхновых удивительно хорошо согласуются с описанием $\Lambda$CDM, основанным на FLRW. Это соответствие не делает само приближение точным. Оно делает его полезным, проверяемым и необычайно мощным.
Метрика FLRW начинается с радикального упрощения. Сгладим планеты, галактики, скопления и пустоты. Оставим только Вселенную, однородную и изотропную в пространстве, но способную меняться во времени.
То, что переживает это упрощение, вовсе не лишено содержания.
Временно́й член задаёт космическое время вдоль сопутствующего потока. Член пространственной кривизны определяет геометрию каждого космического среза. Масштабный фактор позволяет расстояниям между сопутствующими положениями эволюционировать. Уравнения Эйнштейна связывают эту эволюцию с веществом и энергией, наполняющими Вселенную.
Метрика не сообщает нам обо всех событиях, происходящих в космосе. Она делает нечто более фундаментальное: определяет, как измеряется крупномасштабная сцена и какие виды космической истории она способна поддерживать.
Реальная Вселенная сложна, неоднородна и полна локальных исключений. Но на крупнейших масштабах у неё, по-видимому, есть удивительно простая грамматика.
Метрика FLRW — это записанная формула этой грамматики.
Facebook
Reddit
WhatsApp
Twitter
Commentaires
0 commentaires
Connectez-vous pour rejoindre la conversation.
Personne n'a encore répondu. Les commentaires apparaîtront ici lorsque la conversation commencera.