La métrica FLRW es la base matemática de la cosmología moderna. Aquí explicamos cómo interpretar lo que dice sobre el tiempo cósmico, la expansión y la curvatura espacial, y qué deja en manos de las ecuaciones de Friedmann.
Los cosmólogos condensan habitualmente la geometría del universo a gran escala en una sola línea de matemáticas.
Escrita sin ninguna preparación, esa línea parece menos una explicación que una valla de seguridad:
$$ ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\right]. $$
Esta es la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker, generalmente abreviada como métrica FLRW. Es el marco matemático que sustenta la mayoría de las afirmaciones modernas sobre la expansión, la edad, la curvatura y la historia observable del universo.
Pero la ecuación no tiene por qué seguir siendo una inscripción ceremonial ante la que todo el mundo pasa con respetuosa distancia. Cada una de sus partes cumple una función clara. Vista pieza por pieza, expresa una idea sorprendentemente económica:
Si el universo es homogéneo e isotrópico a escalas suficientemente grandes, su geometría puede cambiar con el tiempo y conservar al mismo tiempo la misma forma espacial general en todas partes.
La métrica FLRW es la regla de medición para esa clase de universo.
A escalas conocidas, el universo claramente no es homogéneo. La Tierra es más densa que el espacio que la rodea. La Vía Láctea contiene estrellas, nubes de gas, un agujero negro central y grandes regiones con muy poca materia. Las galaxias se agrupan en grupos y cúmulos, separados por enormes vacíos.
La cosmología no niega nada de esto. En cambio, se pregunta qué aspecto tiene el universo cuando nos alejamos lo suficiente para que las galaxias individuales se conviertan en parte de la textura local, en lugar de constituir el patrón principal.
La descripción FLRW parte de dos supuestos a gran escala:
Estas son afirmaciones sobre una descripción suavizada, no sobre cada habitación, planeta o galaxia. Un mapa de relieve puede representar la forma general de un continente sin reproducir cada árbol y cada alcantarilla. FLRW toma una decisión editorial parecida con respecto al cosmos: conserva la geometría a gran escala y deja de lado temporalmente el mobiliario local.
La homogeneidad y la isotropía imponen restricciones poderosas. Un espacio que satisface ambas condiciones no puede tener colinas, arrugas ni distorsiones direccionales arbitrarias en su geometría promedio. Su curvatura espacial debe ser la misma en todos los lugares y en todas las direcciones. En lenguaje matemático, cada corte espacial debe ser máximamente simétrico.
Esa simetría hace gran parte del trabajo antes incluso de resolver las ecuaciones de campo de Einstein.
La palabra métrica puede hacer que la ecuación parezca una lista de mediciones. Su verdadero significado se parece más a una regla para medir.
En una hoja plana de papel, el teorema de Pitágoras nos dice cómo se combinan los cambios horizontales y verticales para formar una distancia. Una métrica del espacio-tiempo generaliza esa idea. Dados dos eventos cercanos —dos sucesos con posiciones y tiempos ligeramente distintos—, la métrica nos indica su intervalo espaciotemporal.
Ese intervalo se escribe como $ds^2$. Combina lo que separa a los eventos en el tiempo con lo que los separa en el espacio.
La métrica FLRW se divide de manera natural en dos partes:
$$ \underbrace{-c^2dt^2}_{\text{tiempo}} \qquad + \qquad \underbrace{a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right)\right]}_{\text{espacio}}. $$
El signo negativo en la parte temporal refleja la diferencia fundamental que existe en la relatividad entre las separaciones de tipo temporal y las de tipo espacial. No significa que el tiempo sea negativo. Forma parte de la geometría que crea los conos de luz y distingue los eventos que pueden influirse causalmente de aquellos que no pueden hacerlo.
La parte espacial utiliza coordenadas esféricas:
La ecuación es compacta porque la simetría supuesta del universo ya ha eliminado todo lo que podría depender de una posición o dirección especial. Lo que queda es una geometría espacial caracterizada por $k$, multiplicada por una única función evolutiva, $a(t)$.
La coordenada $t$ no es la lectura de un reloj elegido arbitrariamente en la Tierra. Es el tiempo cósmico.
Imaginemos un observador ideal que permanece en reposo con respecto a la materia cósmica promedio de su entorno. A este observador se lo denomina comóvil. Sus coordenadas espaciales no cambian, de modo que
$$ dr=d\theta=d\phi=0. $$
A lo largo de la trayectoria de ese observador, la parte espacial de la métrica desaparece y queda
$$ ds^2=-c^2dt^2. $$
Para este observador comóvil ideal, los cambios en $t$ son, por lo tanto, cambios en el tiempo propio registrado por su reloj. Toda una familia de observadores de este tipo proporciona el tiempo cósmico que utiliza la cosmología estándar.
Esto no restablece un reloj absoluto impuesto por las leyes de la relatividad. La materia y la radiación a gran escala de nuestro universo particular definen un flujo cosmológico útil. Otros observadores —que se muevan rápidamente con respecto a ese flujo o se encuentren en campos gravitatorios intensos— pueden acumular cantidades diferentes de tiempo propio.
La cuestión más amplia de cómo puede coexistir el tiempo cósmico con la relatividad se desarrolla en Si el tiempo es relativo, ¿cómo puede tener una edad el universo?. Para la métrica FLRW, lo importante es que $t$ tiene una interpretación física: es el tiempo propio a lo largo de las líneas de universo comóviles ideales que organizan el modelo.
El factor de escala $a(t)$ es la parte dinámica de la geometría espacial.
Supongamos que dos galaxias ideales siguen el flujo de Hubble. En coordenadas comóviles, la separación entre sus coordenadas puede permanecer fija. Ninguna de las dos necesita desplazarse por la cuadrícula de coordenadas. Aun así, la distancia física medida entre sus posiciones sobre un corte de tiempo cósmico constante cambia en proporción a $a(t)$.
Si su separación comóvil fija está representada por $\chi$, su separación física tiene la forma
$$ D(t)=a(t)\chi. $$
Cuando $a(t)$ aumenta, $D(t)$ aumenta. Este es el significado geométrico de la expansión cósmica en el modelo FLRW.
Resulta tentador convertir de inmediato esta idea en una imagen de galaxias que vuelan a través de un vacío preexistente. Esa imagen puede ser útil para distancias cortas, pero no es lo que la métrica dice en esencia. La métrica dice que la relación espacial entre posiciones comóviles cambia con el tiempo. No proporciona ninguna habitación externa hacia la cual deba expandirse el universo, ni un punto central desde el que todo haya sido lanzado.
Solo las razones entre distintos valores del factor de escala tienen significado físico, por lo que los cosmólogos suelen elegir
$$ a(t_0)=1 $$
para la época cósmica actual. Si el factor de escala era $1/2$ en un momento anterior, las separaciones comóviles suficientemente grandes tenían entonces la mitad de su valor actual.
El mismo factor de escala cambiante explica el corrimiento cosmológico al rojo. El corrimiento al rojo $z$ es una medida adimensional de cuánto ha cambiado la longitud de onda de la luz entre su emisión y su observación:
$$ 1+z=\frac{\lambda_{\text{observada}}}{\lambda_{\text{emitida}}}. $$
Para la luz emitida en el tiempo cósmico $t_e$ y observada en el tiempo cósmico $t_0$, la geometría FLRW da
$$ 1+z=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}. $$
Si $z=1$, por ejemplo, la longitud de onda observada es el doble de la longitud de onda en el momento de la emisión, y el factor de escala tenía la mitad de su valor actual cuando la luz inició su viaje. En términos más generales, la longitud de onda medida por observadores comóviles crece en proporción a $a(t)$ mientras la luz viaja por el universo en expansión. Por lo tanto, el corrimiento al rojo nos proporciona información sobre el factor de escala en el momento en que se emitió la luz, aunque convertir un corrimiento al rojo observado en una edad o una distancia requiere un modelo de cómo evolucionó $a(t)$.
El símbolo $k$ describe la curvatura intrínseca de cada corte espacial de tiempo cósmico constante.
En la forma de la métrica escrita arriba:
La geometría espacial plana es localmente euclidiana: los triángulos geodésicos obedecen la regla euclidiana y sus ángulos interiores suman exactamente $180$ grados. En un espacio de curvatura positiva, los ángulos de los triángulos geodésicos suman más de $180$ grados; en un espacio de curvatura negativa, suman menos de $180$ grados. La diferencia se vuelve más pronunciada a medida que el triángulo crece en relación con la escala de curvatura del espacio, mientras que regiones suficientemente pequeñas de cualquiera de las dos geometrías curvas parecen aproximadamente planas.
Estas analogías deben manejarse con cuidado. Un espacio tridimensional curvo no necesita doblarse dentro de una cuarta dimensión espacial para poseer curvatura intrínseca. Los habitantes confinados a ese espacio podrían detectar la curvatura mediante mediciones geométricas realizadas enteramente dentro de él.
Además, que el espacio sea «espacialmente plano» no significa que «el espacio-tiempo sea plano». Incluso cuando $k=0$, un factor de escala cambiante puede producir un espacio-tiempo curvo, efectos gravitatorios, corrimiento cosmológico al rojo y un universo en evolución. El valor de $k$ describe la geometría dentro de un corte de tiempo cósmico. La curvatura del espacio-tiempo se refiere a la geometría tetradimensional completa, incluida la manera en que esos cortes cambian de un momento a otro.
El signo de $k$ tampoco resuelve por sí solo todas las preguntas sobre la topología global del universo. La curvatura describe la geometría local; la manera en que el espacio está conectado a las escalas más grandes es una cuestión aparte. La métrica FLRW ya hace suficiente trabajo sin que también le pidamos resolver el plano completo del edificio.
Esta es la distinción que las explicaciones introductorias suelen pasar por alto con demasiada prisa.
La homogeneidad y la isotropía nos indican que la métrica puede escribirse en la forma FLRW. Pero no determinan cuál debe ser la función $a(t)$.
Una métrica FLRW con cierto factor de escala podría describir un universo dominado por la radiación. Otra podría describir un universo dominado por la materia. Otra podría contener una constante cosmológica y acelerar en épocas tardías. Una misma forma geométrica general puede albergar muchas historias cósmicas diferentes.
Para determinar la evolución, los cosmólogos introducen la métrica FLRW en las ecuaciones de campo de Einstein y especifican el contenido del universo. Las ecuaciones de campo se reducen entonces a un conjunto mucho más sencillo de relaciones conocidas como las ecuaciones de Friedmann.
Una de ellas puede escribirse de la siguiente manera, con $\rho$ expresada en unidades de densidad de masa:
$$ H^2(t)\equiv\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 =\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{kc^2}{a^2} +\frac{\Lambda c^2}{3}. $$
El lado izquierdo contiene el parámetro de Hubble $H(t)$, la tasa fraccional a la que cambia el factor de escala. Un punto sobre una variable indica una derivada con respecto al tiempo cósmico.
El lado derecho nos indica qué influye en esa expansión:
Esta es solo una de las ecuaciones de Friedmann. La presión también importa: aparece en la ecuación de aceleración complementaria e influye en cómo evolucionan los distintos componentes cósmicos. La radiación, la materia y la energía del vacío no se limitan a aportar distintas cantidades de densidad; sus densidades cambian de manera diferente a medida que el universo se expande.
Esto nos da una división del trabajo clara:
La métrica FLRW proporciona la forma permitida de la geometría a gran escala. Las ecuaciones de Friedmann determinan cómo evoluciona esa geometría una vez que se especifica el contenido cósmico.
Por lo tanto, un modelo cosmológico concreto es algo más que las letras FLRW. Requiere elegir la materia, la radiación, la curvatura, la energía oscura y las condiciones iniciales. El modelo estándar $\Lambda$CDM es una de esas elecciones, puesta a prueba mediante el fondo cósmico de microondas, la agrupación de galaxias, las supernovas y otras observaciones.
Una vez que las observaciones restringen el contenido del universo y las ecuaciones de Friedmann determinan $a(t)$, el marco FLRW se convierte en un motor para la cosmología.
Permite a los cosmólogos relacionar el corrimiento al rojo con el tiempo cósmico, calcular tiempos de retrospección y medidas de distancia, reconstruir la historia de la expansión y estimar la edad del universo. Proporciona la geometría utilizada para hablar de horizontes de partículas y de nuestro cono de luz pasado. También ofrece cortes de tiempo cósmico constante sobre los cuales los cosmólogos describen el estado de regiones distantes en una misma época cósmica, aunque ningún observador pueda ver directamente uno de esos cortes en su totalidad.
No son trucos independientes reunidos por accidente bajo una misma sigla. Son consecuencias diferentes de adoptar una misma geometría del espacio-tiempo a gran escala.
La métrica también explica por qué la expansión no tiene un centro espacial dentro del modelo FLRW. La homogeneidad significa que cada posición comóvil participa en el mismo patrón a gran escala. Una galaxia situada en otro lugar no ve a todas las demás galaxias alejándose de nuestra posición; en promedio, observa el mismo tipo de expansión centrada en sí misma. Aquí, «centrada en sí misma» describe la apariencia de un campo de velocidades homogéneo, no el descubrimiento de una sede cósmica privilegiada.
Ningún cosmólogo serio cree que el universo real sea perfectamente liso.
Las galaxias tienen velocidades peculiares con respecto a la expansión promedio. Los cúmulos y las galaxias se mantienen unidos por la gravedad. Los vacíos se expanden de manera diferente a las regiones densas. Los agujeros negros producen geometrías del espacio-tiempo que se parecen muy poco a un entorno FLRW uniforme. Los relojes reales también experimentan pequeñas diferencias en el tiempo propio acumulado debido al movimiento y al potencial gravitatorio.
La cosmología estándar aborda esto tratando FLRW como una geometría de fondo y superponiendo perturbaciones sobre ella. El fondo captura la expansión promedio; las perturbaciones describen las variaciones de densidad, los movimientos peculiares y las semillas que crecen hasta formar la estructura cósmica.
No se trata de un parche vergonzoso aplicado después de que el modelo no lograra darse cuenta de que existen galaxias. Es una jerarquía de descripción. La métrica de Schwarzschild puede describir el espacio-tiempo cerca de una masa esférica ideal sin servir como mapa de todo el universo. FLRW puede describir el universo a gran escala sin fingir que el entorno de cada estrella es homogéneo.
El modelo se ha ganado su lugar porque organiza las observaciones con éxito. Las mediciones del fondo cósmico de microondas, la distribución de galaxias a gran escala, las oscilaciones acústicas de bariones y las supernovas encajan extraordinariamente bien dentro de una descripción $\Lambda$CDM basada en FLRW. Ese ajuste no hace que la aproximación sea exacta. La hace útil, comprobable y excepcionalmente poderosa.
La métrica FLRW comienza con un acto radical de simplificación. Suavicemos los planetas, las galaxias, los cúmulos y los vacíos. Conservemos únicamente un universo homogéneo e isotrópico en el espacio, pero libre para cambiar con el tiempo.
Lo que sobrevive a esa simplificación no carece de rasgos.
El término temporal proporciona el tiempo cósmico a lo largo del flujo comóvil. El término de curvatura espacial determina la geometría de cada corte cósmico. El factor de escala permite que evolucionen las distancias entre posiciones comóviles. Las ecuaciones de Einstein conectan esa evolución con la materia y la energía que llenan el universo.
La métrica no nos cuenta cada evento que sucede en el cosmos. Hace algo más fundamental: nos dice cómo se mide el escenario a gran escala y qué clases de historia cósmica puede sostener ese escenario.
El universo real es complejo, irregular y está lleno de excepciones locales. Pero, a sus escalas más grandes, parece poseer una gramática sorprendentemente sencilla.
La métrica FLRW es esa gramática puesta por escrito.
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